人教版高中数学选修21课件第3章空间向量与立体几何321

数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3.2立体几何中的向量方法3.2.1用向量方法解决平行与垂直问题数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系．2．会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的垂直与平行．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升以前人们为夯实地面，采用的是一种由三人合作使用的石制工具(如图所示)，石墩上有三个石耳，用三根粗绳子拴着，三个人站在三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面，然后落下石墩夯实地面．若三个人所站方位使得绳子两两成等角，且与水平地面所成角为45°，为了使60kg石墩垂直离开地面，每个人最少需用202g牛顿的力．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题1]在空间中给定一个定点A(一个石耳)和一个定方向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？[提示1]能．[问题2]石墩夯实地面的过程中，石墩所在的直线和地面垂直吗？[提示2]垂直．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线____________的向量．2．平面的法向量的定义直线l⊥α，取直线l的____________，则a叫做平面α的法向量．直线的方向向量与平面的法向量共线或平行方向向量a数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升对直线的方向向量和平面的法向量的几点认识(1)空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个方向确定．在直线l上取AB→＝a，a可以作为l的方向向量，借助点A和a即可确定直线l的位置，并能具体表示出直线l上的任意一点．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量．(3)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升空间中平行关系的向量表示线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔_______线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔_______面面平行设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔____________a＝λba·u＝0u∥v⇒u＝λv数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔_____设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔_____若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔______a⊥ba∥uu·v＝0数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升对空间垂直关系的几点认识空间中的垂直关系包括线线垂直、线面垂直和面面垂直，这几种垂直关系是可以相互转化的，判定或证明垂直关系的方法主要是用判定定理或直线的方向向量、平面的法向量间的关系进行的．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．若直线l的方向向量为a＝(－1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0,4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交解析：∵a＝(－1,0,2)，n＝(－2,0,4)，n＝2a，∴n∥a，∴l⊥α.答案：B数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．若平面α，β的法向量分别为m＝(－1,2,4)，n＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为()A．10B．－10C.12D．－12解析：若α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，即m·n＝0，即(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10，故选B.答案：B数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．已知平面α上两个不共线向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为________．解析：设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，由a·n＝0b·n＝0得2x＋3y＋z＝0，5x＋6y＋4z＝0，令x＝1得y＝－12，z＝－12.答案：1，－12，－12数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升证明：因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，所以CE⊥平面ABCD.如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz，则C(0,0,0)，A(2，2，0)，B(0，2，0)，D(2，0,0)，E(0,0,1)，F22，22，1.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，于是G22，22，0，从而EG→＝22，22，－1，又AF→＝－22，－22，1＝－EG→，所以AF→∥EG→.因为AF与EG不共线，所以AF∥EG，又EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)由于CF→＝22，22，1，BE→＝(0，－2，1)，DE→＝(－2，0,1)，所以CF→·BE→＝0－1＋1＝0，CF→·DE→＝－1＋0＋1＝0，所以CF⊥BE，CF⊥DE，又BE∩DE＝E，所以CF⊥平面BDE.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，求平面EFBD的一个法向量．求空间平面的法向量思路点拨：建立空间直角坐标系→相关点坐标→DB→，DE→坐标→设法向量n＝x，y，z，由n·DB→＝0n·DE→＝0得方程组→赋值解方程组得结果数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：建系如图：则D(0,0,0)，B(2,2,0)，E(1,0,2)，∴DB→＝(2,2,0)，DE→＝(1,0,2)．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升设平面EFBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，∴n·DB→＝0n·DE→＝0⇔2x＋2y＝0，x＋2z＝0，∴y＝－x，z＝－12x.令x＝2，则可解得：y＝－2，z＝－1，∴n＝(2，－2，－1)即为所求平面EFBD的一个法向量．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)平面法向量的求解四步骤要确定一个平面的法向量，通常是在空间直角坐标系中，求出平面法向量的坐标，一般步骤如下：数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)求平面法向量的常见类型①已知平面内三个点的坐标，求这三个点确定的平面的法向量；②一个几何体中存在线面垂直关系，在建立空间直角坐标系后，平面的垂线的方向向量即为平面的法向量；③在几何体中找到平面内已知点的坐标或找到与平面平行的向量，然后求平面的法向量．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．解析：∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴AB→＝(1，－2，－4)，AC→＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量是n＝(x，y，z)，依题意，得n·AB→＝0且n·AC→＝0，即x－2y－4z＝0，2x－4y－3z＝0，令y＝1，则x＝2，z＝0.∴平面α的一个法向量是n＝(2,1,0)．数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点，证明：PQ∥RS.用向量证明平行问题思路点拨：建立空间直角坐标系→求出相应点的坐标→PQ→，RS→的坐标→PQ→∥RS→⇒结论数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升建系如图：则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，∴PQ→＝(－3,2,1)，RS→＝(－3,2,1)，∴PQ→＝RS→⇒PQ→∥RS→，∴PQ∥RS.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升用向量方法证明空间中的平行关系线线平行设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝kb(k∈R)线面平行①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.②根据线面平行判定定理，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．③证明一条直线l与一个平面α平行，只需证明l的方向向量能用平面α内两个不共线向量线性表示面面平行①转化为相应的线线平行或线面平行．②求出平面α，β的法向量u，v，证明u∥v，即可说明α∥β数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.证明：证法一：∵B1C→＝A1D→，B1∉A1D，∴B1C∥A1D，又A1D⊂面ODC1，∴B1C∥面ODC1.证法二：∵B1C→＝B1C1→＋B1B→＝B1O→＋OC1→＋D1O→＋OD→＝OC1→＋OD→.∴B1C→，OC1→，OD→共面．又B1C⊆面ODC1，∴B1C∥面ODC1.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升证法三：建系如图，设正方体的棱长为1，则可得B1(1,1,1)，C(0,1,0)，O12，12，1，C1(0,1,1)，B1C→＝(－1,0，－1)，OD→＝－12，－12，－1，OC1→＝－12，12，0.数学选修2-1第三章空间向量与立体几何自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升设平面ODC1的法向量为n＝(x0，y0，z0)，则n·OD→＝0，n·OC1→＝0，得－12x0－12y0－z0＝0，－12x0＋12y0＝0，令x