人教版高中数学选修22课件第1章导数及其应用133

数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1.3.3函数的最大(小)值与导数数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念．2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数f(x)必有最大值和最小值的充分条件．3．会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题1]试说明y＝f(x)的极值．[提示1]f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．[问题2]你能说出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？[提示2]函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．函数y＝g(x)，y＝h(x)在闭区间[a，b]的图象都是一条连续不断的曲线(如图所示)．[问题]两函数的最值分别是什么？[提示]y＝g(x)的最大值为极大值，最小值为g(a)，y＝h(x)的最大值为h(a)，最小值为h(b)．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有__________与__________．函数的最大(小)值最大值最小值数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．函数最值的理解(1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值．(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的__________；2．将函数y＝f(x)的__________与_______处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是__________，最小的一个就是__________．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤：极值各极值端点最大值最小值数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．求函数最值需注意的问题(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)若函数在闭区间[a，b]上连续单调，则最大、最小值在端点处取得．(3)若连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点时，这个点的函数值必然是最值．例如在(－∞，＋∞)上函数只有一个极值，那么这个极值也就是最值．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．函数f(x)＝4x－x4在x∈[－1,2]上的最大值、最小值分别是()A．f(1)与f(－1)B．f(1)与f(2)C．f(－1)与f(2)D．f(2)与f(－1)数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：f′(x)＝4－4x3，f′(x)0，即4－4x30⇒x1，f′(x)0⇒x1，∴f(x)＝4x－x4在x＝1时取得极大值，且f(1)＝3，而f(－1)＝－5，f(2)＝－8，∴f(x)＝4x－x4在[－1,2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2)，故选B.答案：B数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．函数f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上()A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值解析：f′(x)＝2＋sinx0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．答案：A数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．函数y＝xex在[0,2]上的最大值为________．解析：∵y′＝ex·x′－ex′xex2＝1－xex，令y′＝0，得x＝1∈[0,2]．∴f(1)＝1e，f(0)＝0，f(2)＝2e2.∴f(x)max＝f(1)＝1e.答案：1e数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．设f(x)＝x3－12x2－2x＋5，当x∈[－1,2]时，f(x)m恒成立，求实数m的取值范围．解析：f′(x)＝3x2－x－2，由f′(x)＝0得x＝－23或x＝1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况为：数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升x－1－1，－23－23－23，11(1,2)2f′(x)＋0－0＋f(x)1125＋2227727由上表知f(x)max＝7，要使f(x)m恒成立，只需使mf(x)max，即m7.故m的取值范围为(7，＋∞)．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升求函数的最值求下列函数的最值．[思路点拨]要求区间[a，b]上函数的最值，只需求出函数在(a，b)内的极值，最后与端点处函数值比较大小即可．(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]；(2)f(x)＝12x＋sinx，x∈[0,2π]．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)f(x)＝2x3－12x，∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0解得x＝－2或x＝2.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升x(－∞，－2)－2(－2，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值因为f(－1)＝10，f(3)＝18，f(2)＝－82，所以当x＝2时，f(x)取得最小值－82；当x＝3时，f(x)取得最大值18.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)f′(x)＝12＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝23π或x＝43π.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x00，23π23π23π，43π43π43π，2π2πf′(x)＋0－0＋f(x)0极大值π3＋32极小值23π－32π∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升导数法求函数最值要注意的问题：(1)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出在(a，b)内使导数为0的点，同时还要找出导数不存在的点．(2)比较三类点处的函数值：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在[a，b]上的最大值，最小者便是f(x)在[a，b]上的最小值．特别提醒：比较极值与端点函数值的大小时，可以作差、作商或分类讨论．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．求下列各函数的最值．(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．解析：(1)f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0得x＝－1，或x＝0，或x＝1.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.x－3(－3，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋0－f(x)－60极大值4极小值3极大值4－5数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升已知函数的最值求参数已知函数f(x)＝lnx＋ax，若函数f(x)在[1，e]上的最小值是32，求a的值．[思路点拨]解答本题的关键是求导数，对a的不同取值，先求出函数在该区间内的最小值，再令最小值等于32，然后确定a的值．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：函数的定义域为[1，e]，f′(x)＝1x－ax2＝x－ax2，令f′(x)＝0，得x＝a，①当a≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[1，e]上是增函数，f(x)min＝f(1)＝ln1＋a＝32，∴a＝32∉(－∞，1]，故舍去．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升②当1ae时，令f′(x)＝0得x＝a，函数f(x)在[1，a]上是减函数，在[a，e]上是增函数，∴f(x)min＝f(a)＝lna＋aa＝32.∴a＝e∈(1，e)，故符合题意．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升③当a≥e时，f′(x)≤0，函数f(x)在[1，e]上是减函数，f(x)min＝f(e)＝lne＋ae＝32，∴a＝12e∉[e，＋∞)，故舍去，综上所述a＝e.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解决由函数的最值来确定参数问题的关键是利用函数的单调性确定某些极值就是函数的最值，同时由于系数a的符号对函数的单调性有直接的影响，其最值也受a的符号的影响，因此，需要进行分类讨论．本题是运用最值的定义，从逆向出发，由已知向未知转化，通过待定系数法，布列相应的方程，从而得出参数的值．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上有最大值3，最小值－29，求a，b的值．解析：依题意，显然a≠0.因为f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，x∈[－1,2]，所以令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)若a＞0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表知，当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3.又f(2)＝－16a＋3，f(－