人教版高中数学选修22课件第1章导数及其应用153

数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1.5.3定积分的概念数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．了解定积分的概念，理解定积分的几何意义．2．掌握定积分的基本性质．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题1]直线x＝1，x＝2，y＝0和函数f(x)＝1＋x围成的图形的面积是多少？[提示1]S＝12(2＋3)×1＝52.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题2]利用定积分计算12(1＋x)dx的值．[提示2]∵f(x)＝1＋x在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n等份，则每个区间长度为Δx＝1n，在[xi－1，xi]＝1＋i－1n，1＋in上取ξi＝xi－1＝1＋i－1n(i＝1,2,3，…，n)，数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升于是f(ξi)＝f(xi－1)＝1＋1＋i－1n＝2＋i－1n，从而i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1n2＋i－1n·1n＝i＝1n2n＋i－1n2＝2n·n＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋1n2·nn－12＝2＋n－12n.∴12(1＋x)dx＝limn→∞2＋n－12n＝2＋12＝52.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[问题3]两个数值相同是巧合吗？[提示3]不是．[问题4]说明了什么问题？[提示4]定积分abf(x)dx(f(x)≥0)的值等于直线x＝a，x＝b，(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的面积．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式i＝1nf(ξi)Δx＝__________，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的_______，记作abf(x)dx，即abf(x)dx＝______________．定积分的概念i＝1nb－anf(ξi)定积分limn→∞i＝1nb－anf(ξi)数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升其中a与b分别叫做__________和__________，区间[a，b]叫做__________，函数f(x)叫做_________，x叫做_________，f(x)dx叫做__________．积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量被积式数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有_______，那么定积分abf(x)dx表示由______________________________和_______________所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分abf(x)dx的几何意义．定积分的几何意义f(x)≥0直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0曲线y＝f(x)数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升定积分的性质1．abkf(x)dx＝__________(k为常数)．2．ab[f1(x)±f2(x)]dx＝________________.3．abf(x)dx＝__________＋__________(其中a＜c＜b)．kabf(x)dxabf1(x)dx±af2(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升对定积分的几点认识(1)定积分abf(x)dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数S(n→∞时)称为abf(x)dx，而不是Sn.(2)定积分是一个数值，它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即abf(x)dx＝abf(t)dt＝abf(u)du.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(3)定积分的具体意义：曲边图形面积：S＝abf(x)dx；变速运动路程S＝t1t2v(t)dt；变力做功W＝abF(r)dr.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．已知02exdx＝e2－1，则023exdx等于()A．6e2－6B．3e2－3C．ex－1D．e2－1答案：B解析：利用公式abkf(x)dx＝kabf(x)dx可知023exdx＝302exdx＝3e2－3.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．图中阴影部分的面积用定积分表示为()A．012xdxB．01(2x－1)dxC．01(2x＋1)dxD．01(1－2x)dx数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为012xdx－011dx＝01(2x－1)dx.答案：B数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．由y＝sinx，x＝0，x＝π2，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．解析：∵0xπ2，∴sinx0.∴y＝sinx，x＝0，x＝π2，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为sinxdx.答案：sinxdx数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：解析：(1)sinxdx；(2)－4212x2dx；(3)－49(－x12)dx＝49x12dx.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升利用定义求定积分[思路点拨]将区间[1,2]等分为n个小区间，利用函数在每个小区间上的左端点值求出Sn，其极限即为所求．用定积分的定义计算12(x＋1)dx.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升解析：f(x)＝x＋1在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]等分成n个小区间，每个区间的长度为Δx＝1n，在[xi－1，xi]＝1＋i－1n，1＋in上取ξi＝xi－1＝1＋i－1n(i＝1,2，…，n)，∴f(ξi)＝f(xi－1)＝1＋1＋i－1n＝2＋i－1n，数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升∴i＝1nf(ξi)·Δx＝i＝1n2＋i－1n·1n＝i＝1n2n＋i－1n2＝2n·n＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋n－12n＝2＋12－12n＝52－12n.∴12(1＋x)dx＝limn→∞52－12n＝52.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升用定义求定积分的一般方法：(1)分割：n等分区间[a，b]；(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]，可取ξi＝xi－1或ξi＝xi；(3)求和：i＝1nf(ξi)·b－an；(4)取极限：abf(x)dx＝limn→∞i＝1nf(ξi)·b－an.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．利用定积分的定义，计算02xdx.解析：(1)分割：在区间[0,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[0,2]等分成n个小区间i－1n×2，in×2(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝xi－xi－1＝in×2－i－1n×2＝2n.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)近似代替、求和：取ξi＝2in(i＝1,2，…，n)，则02xdx≈Sn＝i＝1nf2in·Δx＝i＝1n2in·2n＝4n2i＝1ni＝4n2·nn＋12＝2n＋1n.(3)取极限：02xdx＝limn→∞Sn＝limn→∞2n＋1n＝2.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升定积分的几何意义利用定积分的几何意义，求：(1)－4416－x2dx；(2)03(2x＋1)dx.[思路点拨]确定被积函数―→确定积分区间―→画出图形―→用几何法求面积―→求出定积分数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(1)在平面上，y＝16－x2表示的几何图形为以原点为圆心，以4为半径的上半圆，如图(1)所示.2分其面积为S＝12·π·42＝8π.4分由定积分的几何意义知－4416－x2dx＝8π.6分数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)在平面上，f(x)＝2x＋1为一条直线.03(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3围成的直角梯形OABC的面积，如图(2).8分其面积为S＝12(1＋7)×3＝12.10分根据定积分的几何意义知03(2x＋1)dx＝12.12分数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升定积分的几何意义的应用：定积分的几何意义是曲边梯形的面积，其应用可以是用图形面积表示定积分，或者利用几何意义求定积分．画出被积函数的图象，准确确定积分区间，正确利用几何知识求面积．对于不规则的图形，可以进行分割．特别提醒：由于积分区间的影响，被积函数的图象往往不是完整的曲线．数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．利用定积分的几何意义计算：(1)024－x2dx；(2)∫2π0cosxdx；(3)－11|x|dx；(4)－11xdx.解析：(1)如图(1)所示，所求定积分为阴影部分的面积，阴影部分面积为圆面积的14，即024－x2dx＝π.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升(2)如图(2)，02πcosxdx＝A1－A2＋A3＝0.(3)如图(3)，∵A1＝A2，∴－11|x|dx＝2A1＝2×12＝1.(4)如图(4)，－11xdx＝(－A1＋A1)＝0.(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升定积分性质的应用利用定积分的几何意义求－22f(x)dx＋sinxdx的值，其中f(x)＝2x－1，x≥0，3x－1，x＜0.数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升[思路点拨]解答本题应关注以下两点：数学选修2-2第一章导数及其应用自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升－22f(x)dx＋sinxdx＝－20(3x