人教版高中数学选修22课件第2章推理与证明222

数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2.2.2反证法数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升自主学习新知突破数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．了解反证法是间接证明的一种方法．2．理解反证法的思维过程，并会用反证法证明简单的数学问题．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．[问题]A，B，C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A，B都撒谎．则C必定是在撒谎，为什么？[提示]假设C没有撒谎，则C真．那么A假且B假；由A假，知B真．这与B假矛盾．那么假设C没有撒谎不成立；则C必定是在撒谎．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．[问题1]你能利用综合法和分析法证明该问题吗？[提示1]不能．[问题2]a，b，c不可能都是奇数的反面是什么？[提示2]都是奇数．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升假设原命题__________，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明__________，从而证明了____________，这种证明方法叫做反证法．定义不成立假设错误原命题成立数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与__________矛盾，或与________矛盾，或与_______、公理、定理、事实矛盾等．反证法常见的矛盾类型已知条件假设定义数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升反证法的实质及注意事项(1)反证法的实质反证法不直接证明命题，而是从原命题的反面入手，合乎逻辑地推出一个矛盾结果，由于两个相互矛盾的判断必有一真一假，由此肯定命题“若p则q”为真．(2)注意事项①用反证法证明问题的第一步是“反设”，这一步一定要准确，否则后面的过程毫无意义．②反证法的“归谬”要合理．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用()①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③解析：由反证法定义可知①②③正确．答案：C数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．答案：B数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.答案：③①②数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升4．若x0，y0，且x＋y2，求证：1＋yx与1＋xy中至少有一个小于2.证明：假设1＋yx与1＋xy都大于等于2，即1＋yx≥2，1＋xy≥2.数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升因为x＞0，y＞0，所以1＋y≥2x①，1＋x≥2y②.①＋②得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y＞2矛盾，所以假设不成立，所以1＋yx与1＋xy中至少有一个小于2.数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升合作探究课堂互动数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升用反证法证明否(肯)定式命题平面上有四个点，假设无三点共线，证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．[思路点拨]数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1.结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．2．用反证法证明问题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1．求证：不论x，y取何非零实数，等式1x＋1y＝1x＋y总不成立．证明：假设存在非零实数x，y使得等式1x＋1y＝1x＋y成立．于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy，即x2＋y2＋xy＝0，即x＋y22＋34y2＝0.数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升由y≠0，得34y20.又x＋y22≥0，所以x＋y22＋34y20.与x2＋y2＋xy＝0矛盾，故原命题成立．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升用反证法证明唯一性问题已知a与b是异面直线．求证：过a且平行于b的平面只有一个．[思路点拨]这是一个唯一性问题，直接证明较困难，宜用反证法．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升如图，假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α和β，在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ，且γ与α，β分别交于过点A的直线c，d，由b∥α，知b∥c，同理b∥d，故c∥d，这与c，d相交于点A矛盾，故假设不成立，原结论成立．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升用反证法证明唯一性命题的适用类型(1)当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，所以用反证法证明唯一性就非常简单明了．(2)用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因为反证法的核心就是从求证的结论反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成为了关键所在，对于证题步骤，绝不可死记，而要具有全面扎实的基础知识，灵活运用．特别提醒：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个问题，即存在性问题和唯一性问题．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升2．已知：一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．证明：根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．(1)如图，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升所以AB⊥BC，AC⊥BC.在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点A只能有一条直线和平面α垂直．(2)如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB和AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升用反证法证明“至多”“至少”存在性问题已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．[思路点拨]结论中有词语“至少”，宜采用反证法，注意“至少有一个”的否定形式为“一个也没有”．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升所以AB⊥BC，AC⊥BC.在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点A只能有一条直线和平面α垂直．数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点.2分由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0，5分数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升同向不等式求和得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤07分∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤08分∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤09分∴a＝b＝c10分这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证.12分数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升1.当命题出现“至多”“至少”等形式时，适合用反证法．2．常见的“结论词”与“反设词”原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有n－1个至少有n＋1个数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升原结论词只有一个对所有x成立对任意x不成立反设词没有或至少有两个存在某个x不成立存在某个x成立原结论词都是是p或qp且q反设词不都是不是¬p且¬q¬p或¬q数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升3．若a，b，c均为实数且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6.求证：a，b，c中至少有一个大于0.数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则有a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝x2－2y＋π2＋y2－2z＋π3＋z2－2x＋π6＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，因为(x－1)2，(y－1)2，(z－1)2均大于或等于0，且π－3＞0，所以a＋b＋c＞0，这与假设a＋b＋c≤0矛盾，故假设不成立．所以a，b，c中至少有一个大于0.数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升◎用反证法证明命题“a，b为整数，若a·b不是偶数，则a，b都不是偶数”时，应假设为________．【错解】a，b不都是偶数数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升【错因】应用反证法时，假设错误a，b不都是偶数包括的情况有：①a是偶数，b是奇数；②a是奇数，b是偶数；③a是奇数，b是奇数．注意否定的结论是不是结论的对立面，“a，b都不是偶数”指“a，b都是奇数”，它的反面是“a，b不都是奇数”．【正解】a，b不都是奇数数学选修2-2第二章推理与证明自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升点击进入WORD链接高效测评知能提升谢谢观看！