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数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动第2课时组合的综合应用数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动自主学习新知突破数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动1．掌握组合的有关性质．2．能解决有关组合的简单实际问题．3．能解决无限制条件的组合问题．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有多少种？[提示]中间行两张卡片为1,4或2,3，且另两行不可同时出现这两组数字．用间接法，①先写出中间行为(1,4)或(2,3)，C12·A22·A46；②去掉两行同时出现1,4或2,3，(A22C12)2A24，所以C12A22A46－(A22C12)2A24＝1440－192＝1248.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动排列与组合的共同点都是“从n个不同元素中，任取m个元素”，如果交换两个元素的位置对结果产生影响，就是___________；反之，如果交换两个元素的位置对结果没有影响，就是___________．简而言之，__________与顺序有关，__________与顺序无关．排列与组合的联系和区别排列问题组合问题排列问题组合问题数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动解决该问题的一般思路是先选后排，先____________后____________，解题时应灵活运用_______________原理和__________________原理．分类时，注意各类中是否分步，分步时注意各步中是否分类．解排列组合综合题的思路组合排列分类加法计数分步乘法计数数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动1．将5本不同的书分给4人，每人至少1本，不同的分法种数有()A．120种B．5种C．240种D．180种解析：先从5本中选出2本，有C25种选法，再与其他三本一起分给4人，有A44种分法，故共有C25·A44＝240(种)不同分法．答案：C数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有()A．36种B．48种C．96种D．192种解析：不同的选修方案共有C24·C34·C34＝96(种)．答案：C数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动3．安排3名支教教师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有________种(用数字作答)．解析：每人去一所学校有A36种；两人去一所有C23·A26种，共有分配方案A36＋C23A26＝210(种)．答案：210数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动4．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有1名女生当选；(2)两名队长当选；(3)至少有1名队长当选．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动解析：(1)1名女生，4名男生，故共有C15·C48＝350种选法．(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165种选法．(3)方法一：至少有1名队长含有两类：只有1名队长，2名队长．故共有C12·C411＋C22·C311＝825种选法．方法二：采用间接法共有C513－C511＝825种选法.数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动合作探究课堂互动数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动有限制条件的组合问题“抗震救灾，众志成城”．在我国四川“5·12”地震发生后，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴抗震救灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[思路点拨]分清“至少”、“至多”的含义，合理的分类或分步进行求解．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C24种选法，再从除外科专家外的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90(种)抽调方法．(2)方法一：(直接法)按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C24·C46种选法；②选3名外科专家，共有C34·C36种选法；③选4名外科专家，共有C44·C26种选法，根据分类加法计数原理，共有C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185(种)抽调方法．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动方法二：(间接法)不考虑是否有外科专家，共有C610种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C14·C56种选法；没有外科专家参加，有C66种选法，所以共有C610－C14·C56－C66＝185(种)抽调方法．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有C66种选法；②有1名外科专家参加，有C14·C56种选法；③有2名外科专家参加，有C24·C46种选法．所以共有C66＋C14·C56＋C24·C46＝115(种)抽调方法．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[规律方法]1.含“至多”、“至少”问题的解法解组合问题时，常遇到至多、至少问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解以减少运算量，当限制条件较多时要恰当分类，逐一求解．2．“都是”、“都不是”与某元素的“含”、“不含”是同类型的，首先需将给定的总元素分类，才能判断所选取的元素分别来源于哪一类元素中．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动1．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动解析：(1)一名女生，四名男生，故共有C15·C48＝350(种)选法．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165(种)选法．(3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选．故共有C12·C411＋C22·C311＝825(种)选法．或采用间接法：C513－C511＝825(种)．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生．故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966(种)选法．(5)分两类：第一类，女队长当选，有C412种选法；第二类，女队长不当选，有C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44(种)选法，故选法共有C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790(种)．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动组合中的分组问题6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[思路点拨](1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组”问题，(3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(1)根据分步计数原理得到：C26C24C22＝90(种).2分(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C26C24C22种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A33种方法．根据分步计数原理可得：C26C24C22＝xA33，所以x＝C26C24C22A33＝15.因此分为三份，每份两本，一共有15种方法.4分数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(3)这是“不均匀分组”问题，一共有C16C25C33＝60种方法.6分(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有C16C25C33A33＝360种方法.8分(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有C26C24C22＝90种方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有C16C25C33A33＝360种方法；③“1、1、4型”，有C46A33＝90种方法，所以一共有90＋360＋90＝540种方法.12分数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[规律方法]“分组”与“分配”问题的解法(1)本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清楚类型的归属对解题大有裨益，要分清是分组问题还是分配问题，这个是很关键的．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(3)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动2．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动解析：(1)分3步完成：第1步，从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C49种方法；第2步，从余下的5本书中，任取3本分给乙，有C35种方法；第3步，把剩下的书给丙有C22种方法，∴共有不同的分法为C49·C35·C22＝1260(种)．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动(2)分2步完成：第1步，按4本、3本、2本分成三组有C49·C35·C22种方法；第2步，将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A33种方法，∴共有C49·C35·C22·A33＝7560(种)．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动几何中的组合问题(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？[思路点拨]四面体可看作不共面四点的一个组合，四棱锥是共面四点与平面外一点的组合．(1)可用间接法，(2)可用直接法．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动解析：(1)正方体8个顶点可构成C48个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面和正方体相对棱分别所在6个平面的四个顶点，故可以确定的四面体有C48－12＝58个．(2)由(1)知，正方体共面的四点组有12个，以这个四点组构成的四边形为底面，以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个四棱锥，故可以确定四棱锥12C14＝48个．数学选修2-3第一章计数原理自主学习新知突破合作探究课堂互动[规律方法]1.几何组合应用题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多是以立体几何中的点、线、面的位置关系为