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第2课时参数方程和普通方程的互化【自主预习】1.普通方程相对于参数方程而言,直接给出_________________的方程叫做普通方程.点的坐标间的关系2.曲线的普通方程和参数方程的互相转化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过_________而从参数方程得到普通方程.消去参数(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如_______,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系_______,那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的_________保持一致.x=f(t)y=g(t)取值范围xft,ygt【即时小测】1.圆x2+(y+1)2=2的参数方程为()A.(θ为参数)B.(θ为参数)C.(θ为参数)D.(θ为参数)x2cos,y12sinx2cos,y12sinx2cos,y12sinx2cos,y12sin【解析】选D.圆x2+(y+1)2=2的圆心坐标为C(0,-1),半径为,所以它的参数方程为(θ为参数).2x2cos,y12sin,2.参数方程(t为参数)化为普通方程为________.【解析】消去参数方程中的参数t,得到普通方程为y2=4x.答案:y2=4x2xty2t,2xty2t,【知识探究】探究点参数方程和普通方程的互化1.同一曲线的参数方程是否唯一?提示:求曲线的参数方程,关键是灵活确定参数,由于参数不同,同一曲线的参数方程也会有差异,但是一定要注意等价性.2.将曲线的参数方程和普通方程互相转化需要注意什么?提示:尽管同一曲线的参数方程不唯一,但是一定要注意方程与曲线的等价性.【归纳总结】1.曲线的参数方程与普通方程互化的作用(1)将曲线的参数方程化为普通方程,可借助于熟悉的普通方程的曲线来研究参数方程的曲线的类型、形状、性质等.(2)将曲线的普通方程化为参数方程,可用参变量作为中介来表示曲线上点的坐标,从而给研究与曲线有关的最大值、最小值以及取值范围等问题带来方便.2.参数方程化为普通方程的三种常用方法:(1)代入法:利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数.(2)三角函数法:利用三角恒等式消去参数.(3)整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去.特别提醒:化参数方程为普通方程F(x,y)=0:在消参过程中注意变量x,y取值范围的一致性,必须根据参数的取值范围,确定f(t)和g(t)值域得x,y的取值范围.类型一参数方程化为普通方程【典例】将下列参数方程化为普通方程,并判断曲线的形状.(1)(2)2x1cosysin.,(为参数)1tx1t(t1,t)2ty.1t,为参数【解题探究】典例(1)(2)中如何分别消去参数?提示:(1)利用三角函数基本关系式消去参数.(2)两式相加消去参数或代入法消去参数.【解析】(1)由所以(x-1)2+y=cos2θ+sin2θ=1,即y=-(x-1)2+1(0≤y≤1),表示抛物线弧段,如图.22x1cosx1cosysinysin,,得,,(2)方法一:注意到两式中分子分母的结构特点,因而可以采取加减消参的办法.1t2t1txy1,1t1t1t1t2x1x11t1t又,故,21t22t2y2y21t1t1t,故,所以所求的方程为x+y=1(x≠-1,y≠2).方程表示直线(去掉一点(-1,2)).方法二:只要把t用x或y表示,再代入另一表达式即可.由所以x+xt=1-t,所以(x+1)t=1-x,即代入所以x+y=1(x≠-1,y≠2).方程表示直线(去掉一点(-1,2)).1tx,1t1xt1x,1x221x2t1xy1x1x1t1x1x11x,【方法技巧】消去参数方程中参数的技巧(1)加减消参数法:如果参数方程中参数的符号相等或相反,常常利用两式相减或相加的方法消去参数.(2)代入消参数法:利用方程思想,解出参数的值,代入另一个方程消去参数的方法,称为代入消参法,这是非常重要的消参方法.(3)三角函数式消参数法:利用三角函数基本关系式sin2θ+cos2θ=1消去参数θ.【变式训练】1.将参数方程化为普通方程为________.22x1tty1t,(为参数)【解析】将参数方程两式相加,得x+y=2,其中x=1+t2≥1.答案:x+y=2(x≥1)22x1ty1t,2.将参数方程(a,b为大于零的常数,t为参数)化为普通方程,并判断曲线的形状.a1x(t)2tb1y(t)2t,【解析】因为所以t0时,x∈[a,+∞),t0时,x∈(-∞,-a].由两边平方可得由两边平方可得a1x(t)2t,a1x(t)2t2222a1x(t2)4t①,b1y(t)2t2222b1y(t2)4t②,并化简,得所以普通方程为所以方程表示焦点在x轴上的双曲线.2211ab①②2222xy1a0b0.ab(,)2222xy1ab0.ab(,为大于的常数)类型二普通方程化为参数方程【典例】(1)把方程xy=1化为以t为参数的参数方程是()A.B.C.D.1212xtyt,xsint1ysint,xcost1ycost,xtant1ytant,(2)根据下列条件求的参数方程:①设y=sinθ,θ为参数;②设x=2t,t为参数.22xy14【解题探究】1.题(1)中x,y的范围是什么?提示:x,y均为不等于0的实数.2.普通方程化参数方程时需注意什么?提示:普通方程化参数方程时要注意参数的范围.【解析】(1)选D.xy=1,x取非零实数,而A,B,C中的x的范围不符合要求.(2)①把y=sinθ代入方程,得到于是x2=4(1-sin2θ)=4cos2θ,22xsin14,即x=±2|cosθ|,由于θ具有任意性,sinθ与cosθ的符号可以描述平面直角坐标系中点的坐标的符号,所以取x=2cosθ.因此,的参数方程是22xy14x2cosysin.,(为参数)②把x=2t代入方程,得到于是y2=1-t2,即.因此,方程的参数方程是224ty14,2y1t.22xy142x2tty1t,(为参数)和2x2t.ty1t,(为参数)【方法技巧】求曲线的参数方程的方法(1)如果已知曲线的普通方程,根据所选参数可利用代入法确定其参数方程.(2)求动点的轨迹的参数方程时,应先根据题意选择适当的参数,利用已知条件求参数方程.【变式训练】1.圆x2+y2+4x-6y=0的参数方程为______.【解析】圆x2+y2+4x-6y=0变为(x+2)2+(y-3)2=13,即令则令得22x2y311313()(),22x2cos13(),x13cos2,22y3sin13(),y13sin3.故圆x2+y2+4x-6y=0的参数方程为答案:x213cosy313sin.,(为参数)x213cosy313sin.,(为参数)2.把下面曲线的普通方程化为参数方程.设x=acos2φ,φ为参数.xya,【解析】把x=acos2φ代入普通方程得所以所以y=a(1-|cosφ|)2,所以普通方程化为参数方程为xya,a|cos|ya,ya1|cos|(),xya22xacos.ya1cos,(为参数)()类型三参数方程与普通方程互化的应用【典例】已知x,y满足x2+(y-1)2=1,求:(1)3x+4y的最大值和最小值.(2)(x-3)2+(y+3)2的最大值和最小值.【解题探究】典例中方程表示的曲线形状是什么?曲线的参数方程是什么?提示:方程表示圆,参数方程为xcos,()y1sin.为参数【解析】由圆的普通方程x2+(y-1)2=1得圆的参数方程为(1)3x+4y=3cosθ+4sinθ+4=4+5sin(θ+φ),其中且φ的终边过点(4,3).因为-5≤5sin(θ+φ)≤5,所以-1≤4+5sin(θ+φ)≤9,所以3x+4y的最大值为9,最小值为-1.xcos,()y1sin.为参数3tan,4(2)(x-3)2+(y+3)2=(cosθ-3)2+(sinθ+4)2=26+8sinθ-6cosθ=26+10sin(θ+φ).其中tanφ=,且φ的终边过点(4,-3).因为-10≤10sin(θ+φ)≤10,所以16≤26+10sin(θ+φ)≤36,所以(x-3)2+(y+3)2的最大值为36,最小值为16.34【延伸探究】1.若本例条件不变,求的取值范围.【解析】方法一:由于(θ为参数)所以所以sinθ-kcosθ=k-3,即y2x1xcos,y1sin,y23sink.x11cos21ksink3.所以依题意,得所以解得所以的取值范围是2k3sin().1k2k3||11k,22k3()11k,4k.3y2x14[,).3方法二:由于所以问题可以看作圆x2+(y-1)2=1上的动点P(x,y)与定点A(-1,-2)的连线的斜率.设直线y+2=k(x+1)与圆相切,则圆心(0,1)到直线kx-y+k-2=0的距离为1,即解得y2y2,x1x12k3d11k,4k.3若过A(-1,-2)的直线的斜率不存在时,显然与圆相切,结合图形,得的取值范围是y2x14[,).32.若本例条件变为:已知P(x,y)是极坐标方程ρ=2sinθ表示的曲线上的任意一点,如何求3x+4y的最大值和最小值?【解析】极坐标方程ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ,直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,得圆的参数方程为所以3x+4y=3cosθ+4sinθ+4=4+5sin(θ+φ)∈[-1,9],所以3x+4y的最大值为9,最小值为-1.xcos,()y1sin.为参数【方法技巧】求有关最值或取值范围问题的技巧(1)求与圆上的动点有关的最大值、最小值或取值范围问题,常常利用圆的参数方程,将问题转化为三角函数的最大值、最小值或取值范围解决,这样可使问题变得简便.(2)形如y=asinθ+bcosθ的三角函数,通常转化为y=的形式求最大值、最小值.22yabsin()【变式训练】1.圆x2+y2=1上任意一点的坐标为(x,y),则xy的最大值为________.【解析】圆x2+y2=1的参数方程为则所以xy的最大值为答案:xcosysin,(为参数),11xysincossin222,1.2122.(2015·长沙高二检测)在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点M的极坐标为曲线C的参数方程为(α为参数)求点M到曲线C上的点的距离的最小值.x12cos,y2sin.(42,)4,【解析】由点M的极坐标得直角坐标为(4,4),由曲线C的参数方程(α为参数)得普通方程为(x-1)2+y2=2,圆心坐标为C(1,0),=5.所以点M到曲线C上的点的距离的最小值为x12cos,y2sin.22CM41452.(42,)4,3.(2016·成都高二检测)在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0.以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的
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