人教版高中数学选修44课件第一讲二极坐标

第一讲坐标系二、极坐标[学习目标]1.了解极坐标的基本概念．2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别(难点)．3.能进行极坐标与平面直角坐标的互化(重点)．[知识提炼·梳理]1．极坐标系的概念在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和一个角度单位及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(其中O称为极点，射线Ox称为极轴)．设M为平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为θ，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ)，一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2．点的极坐标一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示方法．如果规定ρ0，0≤θ2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．温馨提示(1)极点的极径ρ＝0，极角θ可取任意值．(2)极坐标系下的点与它的极坐标不是一一对应关系，一个点可以有多个极坐标．3.直角坐标和极坐标的互化如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且两种坐标系中的长度单位相同，设平面内任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．(1)极坐标化直角坐标：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ.(2)直角坐标化极坐标：ρ2＝x2＋y2，tanθ＝______（x≠0）.温馨提示极坐标与直角坐标互化的前提条件是：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴非负半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)极轴是一条射线．()(2)极点的极坐标是(0，0)．()(3)点M4，π4与点N4，5π4表示同一个点．()(4)动点M(5，θ)(θ∈R)的轨迹是以极点为圆心，以5为半径的圆．()解析：设极点为O，极轴就是射线Ox.(1)正确，极点O的极径ρ＝0，极角θ是任意实数，极点的极坐标应为(0，θ)；(2)错误，点M与点N的极角分别是θ1＝π4，θ2＝5π4，两者的终边互为反向延长线；(3)错误，由于动点M(5，θ)(θ∈R)的极径ρ＝5，极角是任意角，故点M的轨迹是以极点O为圆心，以5为半径的圆；(4)正确．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．已知M点的极坐标为－5，π3，下列极坐标不能表示点M的是()A.5，－π3B.5，4π3C.5，－2π3D.－5，－5π3解析：一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)、(－ρ，2kπ＋π＋θ)(k∈Z)表示同一个点，检验应选A.答案：A3．极坐标系中，点A(2016，2017π)的直角坐标为()A．(2016，π)B．(2016，0)C．(0，2016)D．(－2016，0)解析：因为ρ＝2016，θ＝2017π，所以x＝ρcosθ＝2016cosπ＝－2016，y＝ρsinθ＝2016sin2017π＝2016sinπ＝2016×0＝0，所以A点的直角坐标为(－2016，0)．答案：D4．写出下图中各点的极坐标：A________，B________，C________．答案：(4，0)2，π43，π25．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标是________．答案：3，π3类型1极坐标系与点的极坐标(自主研析)[典例1](1)写出下图中各点的极坐标(ρ0，0≤θ2π，且各线之间间距相等)．A________B________C________D________E________F________G________(2)与极坐标－2，π6不表示同一个点的极坐标是()A.2，7π6B.2，－7π6C.－2，－11π6D.－2，13π6解析：(1)根据极坐标定义，若M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角，则M的极坐标为(ρ，θ)．所以A(5，0)，B2，π6，C4，π2，D5，3π4，E(2，π)，F5，4π3，G3.5，5π3.(2)根据极坐标(ρ，θ)与(ρ，2kπ＋θ)、(－ρ，2kπ＋π＋θ)(k∈Z)在极坐标系中表示同一个点的规律，检验可知只有2，－7π6和－2，π6不是同一个点的极坐标．或者画出点－2，π6在极坐标系中的位置，如图所示，对照选项进行检验．答案：(1)A(5，0)，B2，π6，C4，π2，D5，3π4，E(2，π)，F5，4π3，G3.5，5π3(2)B归纳升华1．确定点M的极坐标的方法：①定极径ρ，即|OM|的值，它是一个非负数．②定极角θ，它有无数个，可任选其一．若限定0≤θ2π，则θ值唯一确定．2．已知点M的极坐标在极坐标系中确定点M的方法：①以极点为圆心，极径ρ为半径画圆；②以极轴为始边，根据角的旋转定义作出极角θ的终边；③圆与极角终边的交点即为极坐标(ρ，θ)的对应点M.[变式训练]在极坐标系中与点A6，4π3重合的点是()A.6，π3B.6，7π3C.－6，π3D.－6，2π3解析：在极坐标系中作出点A，如图所示，再结合选项可得出答案．答案：C类型2极坐标系中的对称问题和距离问题(互动探究)[典例2](1)在极坐标系中，已知A2，π6，B2，－π6，求A，B两点间的距离；(2)设点A2，π3，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求出点A关于极轴、直线l、极点的对称点的极坐标(限定ρ0，－πθ≤π)．解：(1)法一如下图所示，因为∠AOB＝π3，又OA＝OB＝2，所以△ABO为等边三角形．所以AB的长度为2.法二将点A化为直角坐标为(3，1)，点B化为直角坐标为(3，－1)．所以A、B两点间的距离d＝（3－3）2＋[1－（－1）]2＝2.(2)如下图所示：关于极轴的对称点为B2，－π3.关于直线l的对称点为C2，23π.关于极点O的对称点为D2，－23π.归纳升华1．点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－θ)，关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．2．求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极点O构成的三角形求解，也可以运用两点间距离公式|AB|＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）求解，其中A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)．注意当θ1＋θ2＝2kπ(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1－ρ2|；当θ1＋θ2＝2kπ＋π(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1＋ρ2|.[迁移探究](变换条件，改变问法)(1)在极坐标系中，已知A2，74π，B2，π4，则A、B两点间的距离是________．(2)极坐标系中，点A的极坐标是3，π6(规定ρ0，θ∈[0，2π))，则：①点A关于极轴对称的点的极坐标是________；②点A关于极点对称的点的极坐标是________；③点A关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是_______．解析：(1)如图所示，△OAB为等腰直角三角形，斜边AB＝（2）2＋（2）2＝2.(2)如图所示．①关于极轴对称点为B3，11π6.②关于极点对称点C3，7π6.③关于直线θ＝π2的对称点为D3，5π6.答案：(1)2(2)①3，11π6②3，7π6③3，5π6类型3极坐标与直角坐标的互化(规范解答)[典例3](本小题满分10分)(1)把平面直角坐标系中的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，把下列点的直角坐标化为极坐标．①(1，0)；②(2，2)；③(－1，3)．(2)把平面直角坐标系中的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，把下列各点的极坐标化为直角坐标．①2，π4；②4，－π3.[规范解答](1)①ρ＝1，θ＝0，故点(1，0)的极坐标为(1，0)．(2分)②ρ＝22＋22＝22，tanθ＝1，因为点(2，2)在第一象限，所以θ＝π4，失分警示：若不说明点的象限扣1分.故点(2，2)的极坐标为22，π4.(4分)③ρ＝（－1）2＋（3）2＝2，tanθ＝3－1＝－3，因为点(－1，3)在第二象限，所以θ＝2π3，故点(－1，3)的极坐标为2，2π3.(6分)(2)①x＝2cosπ4＝2，y＝2sinπ4＝2，故点2，π4的直角坐标是(2，2)．(8分)②x＝4cos－π3＝2，y＝4sin－π3＝－23，故点4，－π3的直角坐标是(2，－23)．(10分)归纳升华1．将点的极坐标转化为直角坐标时，要运用到求角的正弦值和余弦值，应熟记特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式．2．点的直角坐标(x，y)转化为极坐标(ρ，θ)时，在0≤θ2π的范围内，由tanθ＝yx(x≠0)求θ时有两个解，所以要根据点的直角坐标的符号特征判断点所在的象限，从而求出θ的值．如果允许θ∈R，那么再根据终边相同的角的意义表示成θ＋2kπ，k∈Z即可．[变式训练](1)把点M的极坐标2，3π4化成直角坐标；(2)把点P的直角坐标(0，－2)化成极坐标．解：(1)x＝2·cos3π4＝－2，y＝2·sinπ4＝2.故点2，3π4的直角坐标为(－2，2)．(2)ρ＝0＋（－2）2＝2，θ＝3π2，故点P(0，－2)的极坐标为2，3π2.1．极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．2．在极坐标系中找点的位置，应先确定极角，再确定极径，最终确定点的位置．3．极坐标与直角坐标的互化．①写极坐标时要注意顺序，极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序弄清了．②点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ0，0≤θ2π，则除极点外，点的极坐标唯一确定．③直角坐标化极坐标时，要先判断点所在象限再求极角．