人教版高中数学选修44课件第二讲二第1课时椭圆

第二讲参数方程二、圆锥曲线的参数方程第1课时椭圆[学习目标]1.掌握椭圆的参数方程，明确参数φ的几何意义(重点)．2.利用椭圆的参数方程解一些数学问题(重点、难点)．[知识提炼·梳理]如图，椭圆的中心在原点，焦点在x轴时，对应的普通方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，参数方程为x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数，0≤φ2π)．温馨提示圆的参数方程中的参数θ是动点M的旋转角，但在椭圆的参数方程中，参数φ是动点M所对应的圆的半径OB的旋转角(称为点M的离心角)，并不是OM的旋转角．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)椭圆x216＋y29＝1的参数方程为x＝4cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．()(2)已知P是椭圆x＝43cosα，y＝2sinα(α为参数)上一点，且对应的参数α＝π3，则P的坐标为(23，3)．()(3)已知P是椭圆x＝43cosα，y＝2sinα(α为参数)上一点，且∠POx＝π6，则P的坐标为(6，1)．()解析：(1)由椭圆的普通方程知椭圆焦点在x轴，a＝4，b＝3，故参数方程正确．(2)由x＝43·cosπ3＝43×12＝23，y＝2sinπ3＝2×32＝3.得P(23，3)，故正确．(3)设|OP|＝t，所以P的坐标为tcosπ6，tsinπ6.把椭圆的参数方程x＝43cosα，y＝2sinα化为普通方程得x248＋y24＝1.将Ptcosπ6，tsinπ6代入椭圆的普通方程得：3t2248＋t224＝1，即t＝855，所以P的坐标为4515，455，故(3)错误．答案：(1)√(2)√(3)×2．椭圆x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)，若θ∈[0，2π)，则椭圆上的点(－a，0)对应的θ＝()A．πB.π2C．2πD.3π2解析：由y＝bsinθ＝0，得θ＝0或π.而x＝－a，故θ＝π.答案：A3．曲线C：x＝3cosφ，y＝5sinφ(φ为参数，0≤φ2π)的离心率为()A.23B.35C.32D.53解析：由x＝3cosφ，y＝5sinφ得x3＝cosφ，y5＝sinφ，所以x29＋y25＝1，所以a＝3，b＝5，c＝2，e＝23.答案：A4．椭圆x24＋y22＝1的参数方程是________________．答案：x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)5．实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则2x＋3y的最大值是________．解析：因为实数x，y满足3x2＋4y2＝12，所以设x＝2cosα，y＝3sinα，则2x＋3y＝4cosα＋3sinα＝5sin(α＋φ)，其中sinφ＝45，cosφ＝35.当sin(α＋φ)＝1时，2x＋3y有最大值为5.答案：5类型1对椭圆参数方程的理解(自主研析)[典例1](1)求中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点A(0，5)和B(4，0)的椭圆的参数方程；(2)已知椭圆的参数方程为x＝2cost，y＝4sint(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝π3，点O为原点，求直线OM的斜率．解：(1)由题意可知，a＝5，b＝4，且焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为y225＋x216＝1，故参数方程为x＝4cosθ，y＝5sinθ(θ为参数)．(2)点M的坐标为x＝2cosπ3＝1，y＝4sinπ3＝23，直线OM的斜率k＝231＝23.归纳升华1．(1)椭圆的中点在原点，焦点在x轴时的参数方程是x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)；若焦点在y轴，参数方程则为x＝bcosθ，y＝asinθ(θ为参数)．(2)若椭圆的中心不在原点，而在M(x0，y0)，则相应椭圆的参数方程为x＝x0＋acosθ，y＝y0＋bsinθ(θ为参数)．2．椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)中的参数φ有明确的几何意义．对于椭圆x2a2＋y2b2＝1，φ称为该椭圆的离心角，φ的最大范围是R，最小范围是[0，2π)．如果θ的范围比[0，2π)还小，那么该参数方程表示的图形不是一整个椭圆而是椭圆的一部分．[变式训练](1)写出椭圆（x－1）23＋（y＋2）25＝1的参数方程；(2)椭圆的参数方程为x＝1＋3cost，y＝－2＋2sint(t为参数)，点P为椭圆上对应t＝π6的点，求直线OP的斜率．解：(1)由题意可设x－13＝cosθ，y＋25＝sinθ，即x＝1＋3cosθ，y＝－2＋5sinθ(θ为参数)为所求．(2)当t＝π6时，x＝1＋3cosπ6＝1＋332，y＝－2＋2sinπ6＝－1.所以OP的斜率k＝yx＝－11＋332＝4－6323.类型2利用椭圆的参数方程求轨迹方程(互动探究)[典例2]已知A，B分别是椭圆x236＋y29＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．解：由题意知A(6，0)，B(0，3)，由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)．设点G的坐标为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得x＝6＋0＋6cosθ3，y＝0＋3＋3sinθ3，即x＝2＋2cosθ，y＝1＋sinθ.消去参数θ得到重心G的轨迹方程为（x－2）24＋(y－1)2＝1.又因为点C不与点A，B重合，故重心G不能为(2，2)，且不能为(4，1)，所以重心G的轨迹方程为（x－2）24＋(y－1)2＝1，除去点(2，2)，(4，1)．[迁移探究](改变问法)将典例2中的设问“求△ABC的重心G的轨迹方程”改为“求线段OC中点M的轨迹方程”．解：设线段OC中点M坐标为(x，y)，椭圆上的动点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，则由中点公式得x＝0＋6cosθ2，y＝0＋3sinθ2，即x＝3cosθ，y＝32sinθ(θ为参数)．消去参数θ得动点M的轨迹方程为x29＋4y29＝1，即x2＋4y2＝9.归纳升华1．求动点的轨迹方程时，先求出动点轨迹的参数方程，然后消去参数转化为普通方程，要注意合理利用三角恒等变恒消参．2．利用椭圆的参数方程解决求轨迹问题具有优越性，利用参数方程运算会更简便．类型3利用椭圆的参数方程求最值(规范解答)[典例3](本小题满分10分)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：x＝4＋cost，y＝－3＋sint(t为参数)，C2：x＝6cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝－π2，Q为C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线C3：ρcosθ－3ρsinθ＝8＋23距离的最小值．审题指导：(1)利用“sin2α＋cos2α＝1”进行消参可得C1，C2的普通方程，再通过普通方程的类型说明曲线的类型．(2)求出P坐标，设出Q的坐标(用参数表示)．由中点公式求得M坐标，然后根据点到直线的距离公式求得距离，再根据三角函数求最值．[规范解答](1)C1：(x－4)2＋(y＋3)2＝1，(1分)C2：x236＋y24＝1，(2分)C1为圆心是(4，－3)，半径是1的圆；(3分)C2为中心在坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是6，短半轴长是2的椭圆．(4分)(2)当t＝－π2时，P(4，－4)，(5分)设Q(6cosθ，2sinθ)，则M(2＋3cosθ，－2＋sinθ)，(6分)C3为直线x－3y－(8＋23)＝0，(7分)M到C3的距离d＝|（2＋3cosθ）－3（－2＋sinθ）－（8＋23）|2(8分)＝|3cosθ－3sinθ－6|2＝23cosθ＋π6－62＝3－3cosθ＋π6，(9分)从而当cosθ＋π6＝1时，d取得最小值3－3.(10分)归纳升华利用椭圆的参数方程可以解决与椭圆上的点有关的最值问题，其思想是转化为三角函数的最值问题．当点P在椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上时，可设其坐标为(acosφ，bsinφ)，当点P在椭圆y2a2＋x2b2＝1(ab0)上时，可设其坐标为(bcosφ，asinφ)，其中φ∈[0，2π)．[变式训练]设点P在椭圆x216＋y29＝1上，求点P到直线3x－4y＝24的最大距离和最小距离．解：设P(4cosθ，3sinθ)，则d＝|12cosθ－12sinθ－24|5即d＝122cosθ＋π4－245，当cosθ＋π4＝－1时，dmax＝125(2＋2)；当cosθ＋π4＝1时，dmin＝125(2－2)．1．对普通方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)(焦点在x轴上)的椭圆，在解题时可利用其参数方程x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)来寻求解决方案．2．可利用椭圆的参数方程来解决最值、轨迹等方面的问题．3．解题时，要针对的不同情况合理选择椭圆的方程形式.