人教版高中数学选修45课件11不等式3

3.三个正数的算术-几何平均不等式【自主预习】1.三个正数的算术-几何平均不等式(定理3)如果a,b,c∈R+,那么≥_______,当且仅当______时,等号成立.3abcabc3a=b=c2.基本不等式的推广对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即___,当且仅当___________时,等号成立.12naaann12naaa≥a1=a2=…=an【即时小测】1.函数y=2x2+(x∈R+)的最小值为()A.6B.7C.8D.9【解析】选A.因为x∈R+,所以当且仅当x=1时等号成立.4x222342222y2x2x32x6.xxxxx2.若n0,则的最小值为()A.2B.4C.6D.8【解析】选C.因为所以当且仅当n=4时等号成立.232nn2232nn32n,n22n322232nn32nn32n36.n22n22n3.若ab0,则a+的最小值为_________.【解析】因为ab0,所以a-b0,所以当且仅当(a-b)=b=时等号成立.答案:31bab11aabb3babbab，1bab【知识探究】探究点三个正数的算术-几何平均不等式1.不等式成立时,a,b,c的范围是什么?提示:a0,b0,c0.3abcabc32.应用三个正数的算术-几何平均不等式,求最值应注意什么?提示:三个正数的和为定值,积有最大值;积为定值,和有最小值.求最值时应注意三个条件“一正、二定、三相等”同时具备.【归纳总结】1.定理3的变形及结论(1)abc≤.(2)a3+b3+c3≥3abc.(3)上式中a,b,c均为正数,等号成立的条件均为a=b=c.3abc()322233abcabcabc.11133abc2.利用定理3可确定代数式或函数的最值(1)若a,b,c∈R+,且积abc为定值s时,由a+b+c≥(定值),当且仅当a=b=c时,和a+b+c有最小值3.(2)若a,b,c∈R+,且和a+b+c为定值p时,由abc≤(定值),当且仅当a=b=c时,积abc有最大值p3.33abc3s3abc()3127类型一利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值【典例】1.求函数y=(1-3x)2·x的最大值.2.求函数y=x+(x1)的最小值.1(0x)3＜＜24x1【解题探究】1.典例1中如何构造式子,使其和为定值?提示:可将式子(1-3x)2·x化为(1-3x)(1-3x)·6x的形式.2.典例2中如何构造式子,使其积为定值?提示:可将式子x+化为则其积为常数.1624x12x1x14122x1，2x1x14122x1【解析】1.因为0x,所以1-3x0,所以y=(1-3x)2·x=(1-3x)·(1-3x)·6x当且仅当1-3x=1-3x=6x,即x=时等号成立,此时ymax=.13163113x13x6x4(),6381194812.因为x1,所以x-10,当且仅当即x=3时等号成立,即ymin=4.224114yxx1x1122x1x12114x1x122x1，321143x1x11422x1，【延伸探究】1.若将典例1中的条件变为“y=x(1-x2)(0x1)”,则如何求y的最大值?【解析】因为y=x(1-x2),所以y2=x2(1-x2)2=2x2(1-x2)(1-x2)·当且仅当2x2=1-x2=1-x2,即x=时,等号成立,所以y≤,ymax=.22232x1x1x114[],22327332392392.若将典例1条件变为“x,y∈R+且x2y=4”,如何求x+y的最小值?【解析】因为x,y∈R+且x2y=4,所以x+y=当且仅当=y时等号成立,又x2y=4,所以当x=2,y=1时,x+y取最小值3.233xx11y3xy3432244，xx22【方法技巧】用平均不等式求最值的注意点(1)应用平均不等式,要注意三个条件,即“一正、二定、三相等”同时具备时,方可取得最值.其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性,获得定值需要一定的技巧,如配系数、拆项、分离常数、平方变形等.(2)当不具备使用平均不等式的条件时,求函数的最值可考虑利用函数的单调性.【变式训练】1.如图,一块曲线部分是抛物线形的钢板,其底边长为2,高为1,将此钢板切割成等腰梯形的形状,记CD=2x,梯形面积为S,则S的最大值是_________.【解析】建立如图所示的坐标系,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p0),则B(1,-1),代入抛物线方程可得2p=1,所以抛物线方程为x2=-y,因为CD=2x,所以D(x,-x2),所以梯形的高为1-x2,梯形的面积为S=(x+1)(1-x2),x∈(0,1),S=(x+1)(1-x2)=(x+1)2(2-2x)≤当且仅当x+1=2-2x,即x=时,S的最大值是.答案:1231x1x122x32(),232713322732272.已知x0,求y=+3x的最小值.【解析】因为x0,所以y=当且仅当即x=2时等号成立.故y=+3x的最小值为9.212x2212123x3x3xxx2232123x3x39x22，2123xx2，212x类型二利用三个正数的算术-几何平均不等式证明不等式【典例】设a,b,c为正实数,求证:a3+b3+c3+【解题探究】典例可分几次使用不等式?提示:分两次使用不等式.123.abc【证明】因为a,b,c为正实数,所以a3+b3+c3≥=3abc0,当且仅当a=b=c时,等号成立.又3abc+当且仅当3abc=时,等号成立.所以a3+b3+c3+33333abc123abc，1abc123abc.【方法技巧】证明不等式的方法(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件,看是否满足“一正、二定、三相等”的条件.若满足即可利用平均不等式证明.(2)若题目不满足该条件,则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子.【变式训练】1.已知x,y均为正数,且xy,求证:2x+≥2y+3.221x2xyy【证明】因为x0,y0,x-y0,所以2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+等号成立的条件是=x-y,即x-y=1.所以2x+≥2y+3.221x2xyy21xy2322113xy3xyxy，21xy221x2xyy2.(2016·哈尔滨高二检测)已知实数a,b,c,d满足abcd,求证:1119.abbccdad【证明】因为abcd,所以a-b0,b-c0,c-d0,a-d0,所以=[(a-b)+(b-c)+(c-d)]≥当且仅当a-b=b-c=c-d时取等号,即111()adabbccd33abbccd9,1119.abbccdad31113abbccd111()abbccd【补偿训练】设a,b,c∈R+,求证:【证明】因为当且仅当c=时取等号,所以原不等式成立.3abc3abcab2ab.3abc3abcab2ab333333c2ab3abccabab3abc3cabab3abc3abc3abc0，ab拓展类型平均不等式在解应用题中的应用【典例】如图所示,在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道,灯挂得太高了,桌子边缘处的亮度就小;挂得太低,桌子的边缘处仍然是不亮的.由物理学知道,桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比,而和这一点到光源的距离r的平方成反比.即E=k.这里k是一个和灯光强度有关的常数.那么究竟应该怎样选择灯的高度h,才能使桌子边缘处最亮?2sinr【解析】因为r=,所以E=所以E2=·sin2θ·cos4θ=·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ2cos2sincos(0),422k162k32222223k2sincoscosk(),323108当且仅当2sin2θ=cos2θ时取等号,即tan2θ=,tanθ=,所以h=2tanθ=,即h=米时,E最大,此时桌子边缘处最亮.故当灯的高度为米时,才能使桌子边缘处最亮.1222222【方法技巧】用不等式解决应用问题的方法解应用问题的关键是读懂题意,建立适当的函数关系式,把所求问题转化为求函数的最值问题,并将函数式配凑成可以利用平均不等式的形式.【变式训练】1.设三角形三边长为3,4,5,P是三角形内的一点,则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是_________.【解析】设P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x,y,z,三角形的面积为S.则S=(3x+4y+5z),又因为32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积S=×3×4=6,所以3x+4y+5z=2×6=12,1212所以≤3x+4y+5z=12,所以(xyz)max=.当且仅当3x=4y=5z,即x=,y=1,z=时等号成立.答案:333x4y5z1615434516152.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3x6,a为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.ax3(1)求a的值.(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【解析】(1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,所以a=2.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)=2+10(x-3)(x-6)2,3x6,f(x)=2+5(2x-6)(x-6)2≤2+5=42.a22x322[10x6]x332x66x6x()3当且仅当2x-6=6-x,即x=4时等号成立.当x=4时,f(x)取最大值,且最大值等于42.答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.自我纠错三个正数的算术-几何平均不等式在求最值中的应用【典例】已知0≤x≤1,求y=x4(1-x2)的最大值.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是错误理解了应用三个正数的算术-几何平均不等式求最值的条件和原则,忽视了等号成立的条件.正确解答过程如下:【解析】y=x4(1-x2)=x2·x2·(2-2x2)当且仅当x2=2-2x2,即x=时,y=x4(1-x2)取得最大值1222233xx22x1124()().232327634.27