人教版高中数学选修45课件32一般形式的柯西不等式

二一般形式的柯西不等式【自主预习】1.三维形式的柯西不等式设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥_______________,当且仅当_____________或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时等号成立.(a1b1+a2b2+a3b3)2bi=0(i=1,2,3)2.一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥__________________,当且仅当________________或存在一个数k,使得ai=___(i=1,2,…,n)时,等号成立.(a1b1+a2b2+…+anbn)2bi=0(i=1,2,…,n)kbi【即时小测】1.若a12+a22+a32=4,b12+b22+b32=9,则a1b1+a2b2+a3b3的最大值为()A.4B.6C.9D.3【解析】选B.根据柯西不等式,知(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)=36，所以-6≤a1b1+a2b2+a3b3≤6.2.已知x,y,z,a∈R,且x2+4y2+z2=6,则使不等式x+2y+3z≤a恒成立的a的最小值为()A.6B.C.8D.6688【解析】选B.由x2+4y2+z2=6,利用柯西不等式可得(x+2y+3z)2≤(x2+4y2+z2)(12+12+32)=66,故有x+2y+3z≤,当且仅当时,取等号.再根据不等式x+2y+3z≤a恒成立,可得a≥66x2yz11366.3.已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为_________.【解析】因为(a2+4b2+9c2)(1+1+1)≥(a+2b+3c)2,所以a2+4b2+9c2≥12.答案:12【知识探究】探究点一般形式的柯西不等式1.三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成可以吗?提示:不可以.因为若出现bi=0(i=1,2,3)的情况,则分式不成立了,但是,可以利用分式的形式来形象地记忆.11ab3223aabb2.在一般形式的柯西不等式中,等号成立的条件记为ai=kbi(i=1,2,3,…,n),可以吗?提示:不可以.若bi=0,而ai≠0,则k不存在.【归纳总结】1.对柯西不等式一般形式的说明一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广,其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结,左边是平方和的积,右边是积的和的平方.在使用时,关键是构造出符合柯西不等式的结构形式.2.等号成立的条件ai=k·bi(i=1,2,…,n)或bi=0,即:==…=或b1=b2=…=bn=0.11ab22abnnab3.柯西不等式的两个变式(1)设ai∈R,bi0(i=1,2,…,n),,当且仅当bi=λai时等号成立.(2)设ai,bi同号且不为0(i=1,2,…,n),则≥,当且仅当bi=λai时,等号成立.2nii1iabn2ii1nii1(a)bnii1iabn2ii1niii1(a)ab类型一利用柯西不等式证明不等式【典例】已知a+b+c=1,且a,b,c是正数,求证:【解题探究】本例不等式右边的9如何拆分才能运用柯西不等式?提示:9=(1+1+1)2.2229.abbcca【证明】左边=[2(a+b+c)]·=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·≥(1+1+1)2=9.当且仅当a=b=c=时,等号成立,所以,原不等式成立.111()abbcca111()abbcca13【方法技巧】利用柯西不等式证明不等式时常用的技巧(1)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以巧拆常数.(2)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以重新安排各项的次序.(3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变式子的结构,从而达到使用柯西不等式的目的.(4)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以添项.【变式训练】1.已知a,b,c∈R+,求证:abcbca()()9.bcaabc【证明】由柯西不等式知所以原不等式成立.22222222abcbca[()()()[()()()]bcaabcabbcca()1119bacbac左边]，2.已知a1,a2,…,an都是正实数,且a1+a2+…+an=1,求证:222212n1n1223n1nn1aaaa1.aaaaaaaa2【证明】左边==[(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an-1+an)+(an+a1)]×222212n1n1223n1nn1aaaaaaaaaaaa【补偿训练】利用柯西不等式证明a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da.(a,b,c,d是正数)【证明】(a2+b2+c2+d2)(b2+c2+d2+a2)≥(ab+bc+cd+da)2,所以a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da.类型二利用柯西不等式求最值【典例】已知a,b,c均为正数,且a+2b+4c=3.求的最小值.【解题探究】本例中的题设条件如何转化为与所求式子的分母有关的形式?提示:由a+2b+4c=3可得(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.111a1b1c1【解析】因为a+2b+4c=3,所以(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.因为a,b,c为正数,所以[(a+1)+2(b+1)+4(c+1)]·111a1b1c12122.当且仅当(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2,等式成立.故的最小值为.1111162a1b1c110，111a1b1c1116210【延伸探究】1.本例取得最小值时a,b,c的值是什么?111a1b1c1【解析】由(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2及(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10得2(c+1)+2(c+1)+4(c+1)=10,所以28521521723102cba.777，，2.若本例条件不变,改为求的最大值.a12b14c1【解析】由柯西不等式得当且仅当a+1=2b+1=4c+1,即a=1,b=,c=时等号成立,所以的最大值为3.a12b14c1a12b14c111132，a112b114c111214a12b14c12【方法技巧】利用柯西不等式求最值的方法技巧利用柯西不等式可求某些含有约束条件的多变量函数的最值问题,其关键是对原目标函数通过巧变结构、巧拆常数、巧换位置、巧添项等技巧以保证柯西不等式的结构特征且出现常数结果,同时要注意等号成立的条件.【变式训练】1.设a,b,c为正数,a+2b+3c=13,则的最大值为()3a2bc16913133A.B.C.D.13333【解析】选C.根据柯西不等式,221(a2b3c)(31)(3a2bc)(3a2bc)31316913,331333a2bc.3所以2.(2015·福建高考)已知a0,b0,c0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值.(2)求a2+b2+c2的最小值.【解题指南】利用绝对值三角不等式和柯西不等式求解.1419【解析】(1)因为f(x)=|x+a|+|x－b|+c≥|(x+a)－(x－b)|+c=|a+b|+c,当且仅当-a≤x≤b时,等号成立.又a0,b0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c,又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式得(4+9+1)≥=(a+b+c)2=16,即a2+b2+c2≥,22211(abc)492ab(23c1)23141987当且仅当,即时等号成立,故a2+b2+c2的最小值为.11bac322318182abc777，，141987自我纠错求代数式的值【典例】设x,y,z∈R,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,则x+y+z=_________.14【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是弄错了柯西不等式等号成立的条件,实际上本题中柯西不等式等号成立的条件是正确解答过程如下:yzx.23【解析】由柯西不等式可知:(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+32),当且仅当时取等号,此时y=2x,z=3x,x+2y+3z=14x=,xyz12314所以x=,y=,z=,所以x+y+z==.答案:141421414314146141431473147