人教版高中数学选修45课件41数学归纳法

第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法【自主预习】1.数学归纳法的定义一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当____时命题成立.n=n0(2)假设当__________________时命题成立,证明______时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法.n=k(k∈N+,且k≥n0)n=k+12.数学归纳法的步骤【即时小测】1.下列四个判断中,正确的是()A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)当n=1时为1B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)当n=1时为1+kC.式子(n∈N*)当n=1时为D.设f(n)=(n∈N*),则f(k+1)=111122n1＋＋＋11123＋＋111n1n23n1＋＋＋111fk3k23k33k4＋＋＋【解析】选C.A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)当n=1时应为1+k,故A不正确;B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)当n=1时应为1,故B不正确;C.式子(n∈N*)当n=1时为正确;D.设f(n)=(n∈N*),则f(k+1)=故D不正确.11111232n1＋＋＋＋11123＋＋，111n1n23n1＋＋＋1111fk3k23k33k4k1＋＋＋，2.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)”,当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为()A.2k+1B.2(2k+1)2k12k3C.D.k1k1【解析】选B.当n=k时,左端=(k+1)(k+2)(k+3)…(2k),当n=k+1时,左端=(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2),故当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为=2(2k+1).2k12k2k1【知识探究】探究点数学归纳法1.数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?提示:不一定.2.在用数学归纳法证明数学命题时,只有第一步或只有第二步可以吗?为什么?提示:不可以.这两个步骤缺一不可,只完成步骤①而缺少步骤②,就作出判断可能得出不正确的结论.因为单靠步骤①,无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否正确,我们无法判定.同样,只有步骤②而缺少步骤①时,也可能得出不正确的结论,缺少步骤①这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤②也就没有意义了.【归纳总结】1.数学归纳法的适用范围数学归纳法可以证明与正整数有关的命题,但是,并不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明.2.数学归纳法中两步的作用在数学归纳法中第一步“验证n=n0时命题成立”是奠基,是推理证明的基础,第二步是假设与递推,保证了推理的延续性.3.运用数学归纳法的关键运用归纳假设是关键,在使用归纳假设时,应分析p(k)与p(k+1)的差异与联系,利用拆、添、并、放、缩等手段,或从归纳假设出发,从p(k+1)中分离出p(k)再进行局部调整.类型一利用数学归纳法证明恒等式【典例】已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2,n∈N+)(1)求a2,a3.(2)求证:an=n31.2【解题探究】本例中当n=k+1时,ak+1与ak的关系式是什么?提示:由an=3n-1+an-1可知ak+1=3k+ak.【解析】(1)由a1=1,得a2=3+1=4,a3=32+4=13.(2)用数学归纳法证明:①当n=1时,a1=1=,所以命题成立.②假设n=k(k∈N+,k≥1)时命题成立,即ak=,那么当n=k+1时,ak+1=ak+3k=1312k312kkkk1k313123313.222即n=k+1时,命题也成立.由①②知命题对n∈N+都成立.【方法技巧】利用数学归纳法证明恒等式的注意点利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点:一是要准确表达n=n0时命题的形式,二是要准确把握由n=k到n=k+1时,命题结构的变化特点.并且一定要记住:在证明n=k+1成立时,必须使用归纳假设.【变式训练】1.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=a≠1,n∈N*”,在验证n=1成立时,左边计算所得项是()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3【解析】选C.因为n=1时,n+1=2,所以左边计算所得项是1+a+a2n21a1a，2.看下面的证明是否正确,如果不正确,指出错误的原因,并加以改正.用数学归纳法证明:1-2+4-8+…+(-1)n-1·2n-1=(-1)n-1·证明:(1)当n=1时,左边=1,右边==1,等式成立.n21.332133(2)假设n=k时,等式成立,即1-2+4-8+…+(-1)k-12k-1=(-1)k-1·则当n=k+1时,有1-2+4-8+…+(-1)k-1·2k-1+(-1)k·2kk21.33k1k1k1k1k1k1221122111.12333333这就是说,当n=k+1时,等式也成立.由(1)与(2)知,对任意n∈N+等式成立.【解析】从上面的证明过程可以看出,是用数学归纳法证明等式成立.在第二步中,证n=k+1时没有用上假设,而是直接利用等比数列的求和公式,这是错误的.第二步正确证法应为:当n=k+1时,1-2+4-8+…+(-1)k-1·2k-1+(-1)k2k=(-1)k-1·+(-1)k·2k=-(-1)k·+(-1)k·2k+=即当n=k+1时,等式也成立.k2133k2313k1kkk1121(1)121.3333类型二利用数学归纳法证明整除问题【典例】设x∈N+,n∈N+,求证:xn+2+(x+1)2n+1能被x2+x+1整除.【解题探究】证明一个与n有关的式子f(n)能被另一个数m(或一个代数式g(m))整除的关键是什么?提示:关键是找到f(k+1)与f(k)的关系,设法找到被除式中分解出的(x2+x+1).【证明】(1)当n=1时,x3+(x+1)3=[x+(x+1)]·[x2-x(x+1)+(x+1)2]=(2x+1)(x2+x+1),结论成立.(2)假设n=k时,结论成立,即xk+2+(x+1)2k+1能被x2+x+1整除,那么当n=k+1时,x(k+1)+2+(x+1)2(k+1)+1=x·xk+2+(x+1)2(x+1)2k+1=x[xk+2+(x+1)2k+1]+(x+1)2(x+1)2k+1-x(x+1)2k+1=x[xk+2+(x+1)2k+1]+(x2+x+1)(x+1)2k+1.由假设知,xk+2+(x+1)2k+1及x2+x+1均能被x2+x+1整除,故x(k+1)+2+(x+1)2(k+1)+1能被x2+x+1整除,即n=k+1时,结论也成立.由(1)(2)知,原结论成立.【延伸探究】1.若将本例中的代数式xn+2+(x+1)2n+1和x2+x+1分别改为42n+1+3n+2和13,如何证明?【证明】(1)当n=1时,42×1+1+31+2=91能被13整除.(2)假设当n=k时,42k+1+3k+2能被13整除,则当n=k+1时,42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)因为42k+1·13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除,所以当n=k+1时结论也成立.由(1)(2)知,当n∈N*时,42n+1+3n+2能被13整除.2.若把本例改为求证:两个连续正整数的积能被2整除.【证明】设n∈N+,则要证明n(n+1)能被2整除.(1)当n=1时,1×(1+1)=2,能被2整除,即命题成立.(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,命题成立,即k·(k+1)能被2整除.那么当n=k+1时,(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1),由归纳假设知k(k+1)及2(k+1)都能被2整除.所以(k+1)(k+2)能被2整除.故n=k+1时命题也成立.由(1)(2)可知,命题对一切n∈N+都成立.【方法技巧】用数学归纳法证明整除问题的关键点(1)用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论,从而利用归纳假设使问题获证.(2)与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明,其中关键问题是从n=k+1时的表达式中分解出n=k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式.【变式训练】1.用数学归纳法证明“n∈N*,n(n+1)(2n+1)能被6整除”时,某同学证法如下:(1)n=1时1×2×3=6能被6整除,所以n=1时命题成立.(2)假设n=k时成立,即k(k+1)(2k+1)能被6整除,那么n=k+1时,(k+1)(k+2)(2k+3)=(k+1)(k+2)[k+(k+3)]=k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3).因为k,k+1,k+2和k+1,k+2,k+3分别是三个连续自然数.所以其积能被6整除.故n=k+1时命题成立.综合(1),(2),对一切n∈N*,n(n+1)(2n+1)能被6整除.这种证明不是数学归纳法,主要原因是_________.【解析】由证明过程知,在证明当n=k+1命题成立的过程中,没有应用归纳假设,故不是数学归纳法.答案:在证明当n=k+1命题成立的过程中没有应用归纳假设2.证明:62n-1+1能被7整除(n∈N+).【证明】(1)当n=1时,62-1+1=7能被7整除.(2)假设当n=k(k∈N+)时,62k-1+1能被7整除.那么当n=k+1时,62(k+1)-1+1=62k-1+2+1=36(62k-1+1)-35.因为62k-1+1能被7整除,35也能被7整除,所以当n=k+1时,62(k+1)-1+1能被7整除.由(1),(2)知命题成立.类型三用数学归纳法证明几何问题【典例】平面上有n(n∈N+,n≥2)条直线,其中任意两条直线不平行,任意三条直线不过同一点,求证:这n条直线共有f(n)=个交点.n(n1)2【解题探究】本例中的初始值应该验证哪个值?提示:题中的初始值验证应该结合题目中的n≥2,所以需要验证n=2.【证明】(1)当n=2时,两条不平行的直线共有1个交点,而f(2)==1,所以命题成立.(2)假设当n=k(k≥2,且k∈N+)时命题成立,就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)=k(k-1),则当n=k+1时,任取其中一条直线记为l,221212如图,剩下的k条直线为l1,l2,…,lk.由归纳假设知,它们之间的交点个数为f(k)=.k(k1)2由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点,所以直线l与l1,l2,l3,…,lk的交点共有k个.所以f(k+1)=f(k)+k=所以当n=k+1时命题成立.由(1)(2)可知,命题对一切n∈N+且n≥2都成立.2kk1kkk22kk1k1k11.22［］【延伸探究】本例中若把条件“n≥2”删掉,其余不变,你能证明这n条直线把平面分成f(n)=个部分吗?2nn22【证明】(1)当n=1时,一条直线把平面分成两部分,而f(1)==2,所以命题成立.(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立,即k条直线把平面分成f(k)=个部分.211222kk22则当n=k+1时,即增加一条直线l,因为任何两条直线都相交,所以l与k条直线都相交,有k个交点;又因为任何三条直线不共点,所以这k个交点不同于k条直线的交点,且k个交点也互不相同,如此k个交点把直线l分成(k+1)段,每一段把它所在的平面区域分成两部分,故新增加了(k+1)个部分.因为f(k+1)=f(k)+k+1=+k+1==,所以当n=k+1时,命题成立.由(1)(2)可知,当n∈N+时,命题成立.2kk2