勾股定理单元检测试题单元测试初中数学人教版八年级下册教学资源

勾股定理单元检测试题一、选择题（每题3分,共18分）1.下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）（A）1,2,3（B）2,3,4（C）3,4,5（D）4,5,6解：因为222345，故选（C）2．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个直角三角形的面积是（）（A）30（B）40（C）50（D）60解：由勾股定理知，另一条直角边的长为2213125，所以这个直角三角形的面积为1125302.3．如图1,一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移()(A)0.6米(B)0.7米(C)0.8米(D)0.9米解:依题设112.5,0.7ABABBC.在RtABC中,由勾股定理,得22222.50.72.4ACABBC由12.4,0.4ACAA,得112.40.42ACACAA.在11RtABC中,由勾股定理,得222211112.521.5BCABAC所以111.50.70.8BBBCBC故选(C)4．直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自然数，那么它的周长是（）（A）132（B）121（C）120（D）以上答案都不对解：设直角三角形的斜边长为x,另外一条直角边长为y,则xy.由勾股定理,得22211xy.因为,xy都是自然数，则有1211211xyxy.所以121,1xyxy.图1因此直角三角形的周长为121+11=132.故选（A）5．直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（）（A）22dSd（B）2dSd（C）222dSd（D）22dSd解:设两直角边分别为,ab,斜边为c,则2cd,12Sab.由勾股定理,得222abc.所以222222444abaabbcSdS.所以22abdS.所以abc222dSd.故选（C）6.直角三角形的三边是,,abaab,并且,ab都是正整数,则三角形其中一边的长可能是()（A）61（B）71（C）81（D）91解:因为abaab.根据题意,有222ababa.整理,得24aab.所以4ab.所以3,5abbabb.即该直角三角形的三边长是3,4,5bbb.因为只有81是3的倍数.故选（C）二、填空题（每题3分,共24分）7.如图2，以三角形ABC的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为_____.解:根据题意，有123SSS，即222111222222abc.整理,得222abc.故此三角形为直角三角形.8.在RtABC中,3,5ac,则边b的长为______.解：本题在RtABC中，没有指明哪一个角为直角，故分情况讨论：图2当C为直角时,c为斜边，由勾股定理,得222abc，∴2222534bca；当C不为直角时,c是直角边，b为斜边，由勾股定理，得222acb，∴22223534.bac因此,本题答案为4或34.9.如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.解：由勾股定理，知最短距离为222288210BDACABCD.10.如图4，已知ABC中，90ACB，以ABC的各边为边在ABC外作三个正方形，123,,SSS分别表示这三个正方形的面积，1281,225SS，则3_____.S解：由勾股定理，知222ACBCAB，即123SSS，所以3114S．11．如图5,已知，RtABC中，90ACB，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长5,210ADBE，则斜边AB之长为______.解：AD、BE是中线，设,BCxACy，由已知，5,25ADBE，所以222240,25.22yxxy两式相加，得225654xy，所以2252213.ABxy12.如图6，在长方形ABCD中，5DCcm,在DC上存在一点E,沿直线AE把AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若ABF的面积为230cm,那么折叠AED的面积为_____.图6图5图4图3解:由折叠的对称性,得,ADAFDEDF.由130,52ABFSBFABAB,得12BF.在RtABF中,由勾股定理,得2213AFABBF.所以13AD.设DEx,则5,,1ECxEFxFC.在RtECF中,222ECFCEF,即22251xx.解得135x.故211131316.9225ADESADDEcm.13.如图7，已知：ABC中，2BC，这边上的中线长1AD，13ABAC，则ABAC为_____.解:因为AD为中线，所以1BDDCAD,于是1,2CB.但12180CB,故212180,1290,即90BAC.又13ABAC,两边平方,得222423ABACABAC.而由勾股定理,得224ABAC.所以24ABAC.故2ABAC.即2ABAC.14．在ABC中,1ABAC,BC边上有2006个不同的点122006,,PPP,记21,2,2006iiiimAPBPPCi,则122006mmm=_____.解:如图8,作ADBC于D,因为1ABAC,则BDCD.由勾股定理,得222222,ABADBDAPADPD.所以2222ABAPBDPDBDPDBDPDBPPC.所以2221APBPPCAB.因此2122006120062006mmm.三、解答题（每题10分,共40分）15．如图9，一块长方体砖宽5ANcm，长10NDcm，CD上的点B距地面的高8BDcm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多图8图7少？【解】如图9，在砖的侧面展开图10上，连结AB，则AB的长即为A处到B处的最短路程．在RtABD中，因为51015ADANND，8BD，所以22222215828917ABADBD．所以17ABcm．因此蚂蚁爬行的最短路径为17cm．16．如图11所示的一块地，90ADC，12ADm，9CDm，39ABm，36BCm，求这块地的面积S．解：连结AC，在RtACD中，由勾股定理，得222ACADDC，即222129AC，所以15AC．在ABC中，由22222153639ACBC，即222ACBCAB．所以ABC为直角三角形，90ACB．所以211153612921622ABCADCSSSm．所以这块地的面积为2216m．17．如图12所示，在RtABC中,90,,45BACACABDAE,且3BD,4CE,求DE的长.图9图10图11图12答图13解:如图13,因为ABC为等腰直角三角形,所以45ABDC.所以把AEC绕点A旋转到AFB,则AFBAEC.所以4,,45BFECAFAEABFC.连结DF.所以DBF为直角三角形.由勾股定理,得222222435DFBFBD.所以5DF.因为45,DAE所以45DAFDABEAC.所以ADEADFSAS.所以5DEDF.18．ABC中，,,BCaACbABc，若90C，如图14，根据勾股定理，则222cba，若ABC不是直角三角形，如图15和图16，请你类比勾股定理，试猜想22ba与2c的关系，并证明你的结论。解：若ABC是锐角三角形，则有222.abc若ABC是钝角三角形，C为钝角，则有222.abc当ABC是锐角三角形时，如图17,证明：过点A作ADCB，垂足为.D设CD为x，则有DBax，图14图15图16根据勾股定理，得2222.bxcax即222222.bxcaaxx∴2222.abcax∵0,0ax，∴20.ax∴222.abc当ABC是钝角三角形时，图18,证明：过点B作BDAC，交AC的延长线于点.D设CD为x，则有222.DBax根据勾股定理，得2222.bxaxc即222222.bbxxaxc∴2222.abbxc∵0,0bx，∴20.bx∴222.abc图17图18