数学选修45人教A版课件第三讲33排序不等式

第三讲柯西不等式与排序不等式3．3排序不等式[学习目标]1.用向量递归方法讨论排序不等式(难点)．2.了解排序不等式的基本形式，用排序不等式解决简单的数学问题(重点)．[知识提炼·梳理]1．基本概念设a1a2a3…an，b1b2b3…bn是两组实数，设c1，c2，c3，…，cn是数组b1，b2，…，bn的任何一个排列，则S1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1叫做数组(a1，a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)的反序和；S2＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn叫做数组(a1，a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)的顺序和；S＝a1c1＋a2c2＋…＋ancn叫做数组(a1，a2，…，an)和(b1，b2，…，bn)的乱序和．2．排序原理或排序不等式设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么，a1bn＋anbn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)两组数1，2，3与4，5，6顺序和是32.()(2)两组数1，2，3与4，5，6的反序和是28.()(3)两组数1，2，3与4，5，6的乱序和一定是29.()(4)两组数1，2，3与4，5，6的反序和≤乱序和≤顺序和．()解析：由基本概念知(1)(2)正确，(3)不正确，因为乱序和也可能是35或其他等．由排序不等式可知(4)正确．答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．有两组数1，2，3与10，15，20，它们的顺序和、反序和分别是()A．100，85B．100，80C．95，80D．95，85解析：由顺序和与反序和的定义可知顺序和为100，反序和为80.答案：B3．设x1，x2，…，xn为正数，若它的任一排列为a1，a2，…，an，则x1a1＋x2a2＋…＋xnan的最小值为()A．nB．n＋1C．2nD．2n＋1解析：取两组数：x1，x2，…，xn；1x1，1x2，…，1xn.不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则1x1≥1x2≥…≥1xn.其反序和为x1x1＋x2x2＋…＋xnxn＝n，而x1a1＋x2a2＋…＋xnan为乱序和，从而有x1a1＋…＋xnan≥x1x1＋x2x2＋…＋xnxn＝n，当且仅当x1＝x2＝…＝xn时，等号成立．答案：A4．顺序和、反序和、乱序和的大小关系是________．解析：由排序不等式易知反序和≤乱序和≤顺序和．答案：反序和≤乱序和≤顺序和5．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5s，4s，3s，7s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.解析：等候的最短时间为：3×4＋4×3＋5×2＋7×1＝41(s)．答案：41类型1利用排序不等式证明不等式(自主研析)[典例1](1)设a，b都是正数，求证：ab2＋ba2≥ab＋ba.(2)设a1，a2，…，an是1，2，…，n的一个排列，求证：12＋23＋…＋n－1n≤a1a2＋a2a3＋…＋an－1an.证明：(1)由题意设a≥b＞0，则a2≥b2，1b≥1a，所以a2b≥b2a，根据排序原理，知a2b·1b＋b2a·1a≥a2b·1a＋b2a·1b，即ab2＋ba2≥ab＋ba.(2)设b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一个排列，且b1b2…bn－1；c1，c2，…，cn－1是a2，a3，…，an的一个排列，且c1c2…cn－1，则1c11c2…1cn－1，且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n.利用排序不等式，有a1a2＋a2a3＋…＋an－1an≥b1c1＋b2c2＋…＋bn－1cn－1≥12＋23＋…＋n－1n.所以原不等式成立．归纳升华1．在不等式的证明方法中，配凑法比较常见，如在运用基本不等式、柯西不等式时，常常先将不等式的一侧(或已知等式的一侧)进行配凑，使之满足基本不等式或柯西不等式的应用条件．在运用排序不等式时，常常根据题目条件，配凑构造出所需要的有序数组．2．应用排序不等式时，当两个排序的大小顺序未确定而又需对一些轮换式或者对称性式子进行证明时，可人为规定顺序，再利用排序原理求解．还应注意两个排序的顺序和、反序和是确定的，只有乱序和可以有多种，所以要在乱序和上多思考．[变式训练]设a，b，c都是正数，求证：bca＋acb＋abc≥a＋b＋c.解：由题意不妨设a≥b≥c＞0，所以ab≥ac≥bc，1c≥1b≥1a.由排序原理，知ab·1c＋ac·1b＋bc·1a≥ab·1b＋ac·1a＋bc·1c＝a＋c＋b.类型2利用排序不等式求最值[典例2]设正数x，y，z满足xyz＝1，求x2y＋z＋y2z＋x＋x2x＋y的最小值．解：不妨设x≥y≥z，则x＋y≥x＋z≥y＋z＞0，于是xy＋z≥yz＋x≥zx＋y，由排序不等式得x2y＋z＋y2z＋x＋z2x＋y≥z·xy＋z＋x·yz＋x＋y·zx＋y，x2y＋z＋y2z＋x＋z2x＋y≥y·xy＋z＋z·yz＋x＋x·zx＋y.两式相加并化简，得2x2y＋z＋y2z＋x＋z2x＋y≥x＋y＋z.由均值不等式及xyz＝1，得x＋y＋z≥33xyz＝3，所以x2y＋z＋y2z＋x＋z2x＋y≥32.故x2y＋z＋y2z＋x＋z2x＋y的最小值为32.归纳升华应用排序不等式求最值时，关键是构造两个有序的数组，从而构造顺序和、乱序和以及反序和，利用顺序和≥乱序和≥反序和可求表达式的最大值或最小值．当已知数组位置对称，没有大小顺序时，可指定一个次序，然后再利用排序不等式求解．[变式训练]已知有两组实数a1≤a2≤a3≤a4≤a5，b1≤b2≤b3≤b4≤b5，其中a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，将bi(i＝1，2，3，4，5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5，计算a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值和最小值．解：由顺序和最大知a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值为a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝2×3＋7×4＋8×6＋9×10＋12×11＝304.由反序和最小知a1c1＋a2c2＋a3c3＋a4c4＋a5c5的最小值为a1b5＋a2b4＋a3b3＋a4b2＋a5b1＝2×11＋7×10＋8×6＋9×4＋12×3＝212.所以a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值为304，最小值为212.类型3排序不等式的实际应用[典例3]某座大楼共有n层，在每层有一个办公室，每个办公室的人员步行上下楼，他们的速度分别为v1，v2，…，vn(他们各不相同)，为了能使得办公室的人员上下楼梯所用的时间总和最小，应该如何安排(假设每两层楼的楼梯长都一样)?解：设两层楼间的楼梯长为s，则第一层需要走的路程为s，第二层需要走的路程为2s，…，第n层需要走的路程为ns.不妨设v′1v′2…v′n为v1，v2，…，vn从大到小的排列，显然1v′11v′2…1v′n，由排序不等式，可得ns1v1＋(n－1)s1v′2＋…＋s1v′n的和最小，所以将速度快的放在高层，速度慢的放在低层，可使上下楼的时间最短．归纳升华在解决一些规划预算问题时，往往只需确定最小值与最大值，以进行合理规划与正确预算，结合排序不等式“顺序和最大，反序和最小”，可以方便快捷地处理，方法巧妙，步骤灵活，过程简单．[变式训练]某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min，25min和30min，每台电脑耽误1min，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？解：设t1，t2，t3为25，30，45的任一排列，利用排序不等式的“顺序和最大，反序和最小”，可知维修3台电脑所花的总时间最短为：25×3＋30×2＋45×1＝180(min)，那么最小的经济损失为180×0.05＝9(元)，那么该网吧应该按用时为25min，30min，45min的顺序维修3台电脑，才能使经济损失降到最小．1．排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和．对这三种不同的搭配形式，只需注重是怎样的“次序”，两种较为简单的是“顺与反”，而乱序和也就是不按“常规”的顺序了．对于排序原理的记忆，我们只需记住用特殊的例子来说大小关系，比如教材上的例子．2．对于排序不等式取等号的条件不难理解，a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn，但对于我们解决某些问题则非常关键，它是命题成立的一种条件，所以要牢记．