直接证明与间接证明1理

§2.2.1综合法和分析法(1)【学情分析】：前一阶段刚刚学习了人们在日常活动和科学研究中经常使用的两种推理——合情推理和演绎推理。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。这是数学区别于其他学科的显著特点。本节学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。在以前的学习中，学生已经接触过用综合法、分析法和反证法证明数学命题，但他们对这些证明方法的内涵和特点不一定非常清楚，逻辑规则也会应用不当。本部分结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析这些基本证明方法的电教过程与特点，并归纳出操作流程框图，使他们在以后的学习和生活中，能自觉地、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯。【教学目标】：（1）知识与技能：结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法；了解综合法、分析法的思考过程、特点（2）过程与方法：能够运用综合法、分析法证明数学问题（3）情感态度与价值观：通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯【教学重点】：了解综合法、分析法的思考过程、特点；运用综合法、分析法证明数学问题。【教学难点】：根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题。【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、提出问题1.比较222abab与的大小关系.生：abba222。2.2222,0,:((4ababcbcaabc已知:求证)+)生：讨论、交流完成，对比解答通过复习导入新课通过典型数学实例，概括综合法的特点二、综合法定义综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。（也形象地称为“顺推证法”或“由因导果法”）阅读课本P85倒数第3行：流程框图更直观了解综合法的证明过程三、应用1.例1．在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A，B，C成等差数列，a,b,c成等比数列，求证：ABC为等边三角形。[几何画板]证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C①∵A，B，C为ABC的内角∴A+B+C=π②由①②得3B③由a,b,c成等比数列，有2bac④∵222222cosbacacBacac由④，得22acacac即2()0ac强调分析过程和思考过程，尤其是本题的文字语言与符号语言的转换（2B=A+C），隐含条件的显性化（A+B+C=π），通过寻找条件和结论间的联系，就可直接从已知条件和余弦定理出发，证明问题。例题起到运用综合法证题的示范作用，注意规范化表达。因此a=c从而有A=C⑤由②③⑤，得3ABC所以ABC为等边三角形。四、练习巩固1.P89.12.补充：已知:xy0,求证：14yxxyxyxy[几何画板]证明：0,0xyyxxy412,21yxxyxyxyxyyxxyxy则（学生板演练习）及时讲评学生板演过程中出现的问题五、提出问题师：要证明2abab成立，需要什么条件？生：需要：2abab师：要证明2abab成立，只需证什么条件？生：需要：20abab师：要证明20abab成立，需要什么条件？生：需要：2()0ab师：2()0ab是否成立？生：是的师：上面的分析过程，即2abab2abab20abab2()0ab给出分析法的实例。详细的板书推导利于学生总结归纳出分析法的思考过程和特点引导学生概括出分析法的特点六、分析法定义分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种证明的方法叫做分析法。（也形象地称为“逆推证法”或“执果索因法”）阅读课本P97.流程框图更直观了解分析法的证明过程七、应用1.例2．求证：354证明：∵35和4都是正数∴为了证明354只需证明22(35)4展开得：821516154即只需证1516∵1516显然成立，∴原式成立2.师：综合法与分析法有什么样的思维关系？例题示范分析法的思路、证明步骤，加深对分析法的认识通过讨论交流，比较2种生：讨论交流，总结归纳“综合法”与“分析法”的思维是互逆的关系，综合法是从条件出发，产生与目标相关的联想，从而实现问题的解决；而分析法是从结论出发，寻找结论成立须满足的条件在具体处理问题时，两种思维一般同时进行，即综合法离不开目标的指引，分析法离不开条件的环境。综合法和分析法各有优缺点。分析法思考自然，容易找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考。实际证明时先用分析法探求证明途径，然后用综合法叙述。3.上面的例2可以用综合法完成证明（要在草稿纸上先分析好）例题证明∵1516∴154∴2158821516即则22(35)4∵35和4都是正数∴354成立证明方法的差异，提升对综合法与分析法的认识。老师要提醒并强调分析法的证明过程易出现不完整情况正因为分析法在证明过程中易出现步骤的不完善，所以告诉学生可以将用分析法证明的问题以综合法的形式呈现，这样也可以培养学生的逻辑性思维八、练习巩固P89.2九、知识小结综合法和分析法的思考过程、特点；分析法证明问题时需要注意的地方；综合法与分析法的关系。[几何画板]通过小结总结所学，突出重点，强调难点十、课后作业1．P91.习题2.2A组22.P91.习题2.2B组22.阅读课本十一、设计反思学生在用分析法证明问题时，往往缺少必要的叙述环节，直接从还应证式出发推证。教学中应强调证明格式，对于普通班，可以要求学生将草稿纸上的分析过程倒过来写，只用综合法的方式证题，这样会清晰得多。【练习与测试】：1．命题“对任意角2cossincos,44都成立”的证明过程如下：“2cossincos)sin)(cossin(cossincos22222244”，该过程应用了（）A.分析法B.综合法C.综合法与分析法结合使用D.间接证法答案：B解：因为是利用三角公式和乘法公式直接推出结论，故选B。2.已知20，求证：1cossin44。证明：2sin211cossin2)cos(sincossin22222244而20，故02sin,20∴12sin211cossin244求证式成立。3.求证：5321232log19log19log19证明：因为1loglogabba，所以左边=23191919191919log52log33log2log5log3log2=23191919log(532)log360log3612所以5321232log19log19log19成立4．求证：如果lglg,0,lg22ababab则证明：当,0,2ababab有上式两端取对数得：lglg2abab从而lg()lglglg222ababab所以，命题得证。5．设ab0且ab=1，求证：2222abab证明：222()22()()ababababababab∵ab0，∴a-b0因此有22()2()22()()abababab所以，命题得证。6．已知：,,1,aabcRabc111且证明:(-1)(-1)(-1)8bc证明：∵a+b+c=1∴左式=aacb+ca+bbc又∵,,abcR∴2,2,2bcbcacacabab即28aac2bc2ab左式bc成立。