高一数学人教A版必修二课件第二章点直线平面之间的位置关系232

2.3.2平面与平面垂直的判定学案·新知自解1．理解二面角，面面垂直的概念．2．掌握二面角的平面角，面面垂直的判定定理．3．能够利用面面垂直的判定定理判断或证明有关面面垂直的问题．二面角1．二面角二面角定义从一条直线出发的_____________所组成的图形叫作二面角．__________叫作二面角的棱．______________叫作二面角的面．如图，记作：________________或_______________或_______________范围0°≤θ≤180°两个半平面这条直线这两个半平面二面角α－l－β二面角P－AB－Q二面角P－l－Q2.二面角的平面角文字语言在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作______于棱l的______OA和OB，则射线OA和OB构成的_________叫作二面角的平面角垂直射线∠AOB图形语言符号语言α∩β＝l，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，_________，_________⇒∠AOB为二面角α－l－β的平面角OA⊥lOB⊥l平面与平面垂直平面与平面垂直定义如果两个平面相交，且它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直，记作：_______画法通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图：直二面角α⊥β判定定理文字表述：一个平面过另一个平面的_______，则这两个平面垂直．符号表示：a⊥β_______⇒α⊥βa⊂α垂线[化解疑难]作二面角的平面角的方法方法一(定义法)：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．方法二(垂面法)：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．方法三(垂线法)：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图③，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角.1．长方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与面ABCD垂直的面有()A．1个B．3个C．4个D．5个解析：与面ABCD垂直的面有面ABB1A1，面BCC1B1，面CDD1C1，面DAA1D1，共4个．答案：C2．下列说法：①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②两条异面直线分别和一个二面角的两个半平面垂直，则这两条异面直线所成的角与二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个半平面内作射线所成的角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②解析：由二面角的定义可知，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，所以①不正确；由a，b垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；对于③，所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不正确；对于④，由定义可知正确．故选B.答案：B3.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为____________．解析：由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°.答案：45°教案·课堂探究平面与平面垂直的判定多维探究型如图，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC，求证：平面ABC⊥平面SBC.解析：证法一：利用定义证明．∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，∴△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．如图，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS为二面角A－BC－S的平面角．在Rt△BSC中，∵SB＝SC＝a，∴SD＝22a，BD＝BC2＝22a.在Rt△ABD中，AD＝22a.在△ADS中，∵SD2＋AD2＝SA2，∴∠ADS＝90°，即二面角A－BC－S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.证法二：利用判定定理．∵SA＝AB＝AC，∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．∵△BSC为直角三角形，∴A在△BSC上的射影D为斜边BC的中点．∴AD⊥平面SBC.又∵平面ABC过AD，∴平面ABC⊥平面SBC.[归纳升华]1.对平面与平面垂直的判定定理的认识：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题．2．证明平面与平面垂直的方法：根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.1．在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点．求证：(1)直线EF∥平面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.证明：(1)因为E，F分别是AB，BD的中点，所以EF是△ABD的中位线，所以EF∥AD.因为EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，所以直线EF∥平面ACD.(2)因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD.因为CB＝CD，F是BD的中点，所以CF⊥BD.又EF∩CF＝F，所以BD⊥平面EFC.因为BD⊂平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.二面角分层深化型已知Rt△ABC，斜边BCα，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小．解析：如图所示，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.设OC＝a，∵AO⊥α，BCα，∴AO⊥BC.又AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.而AD平面AOD，∴AD⊥BC.∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角．由AO⊥α，OBα，OCα，知AO⊥OB，AO⊥OC.又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，∴AO＝a，AC＝2a，AB＝2a.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴BC＝AC2＋AB2＝6a，∴AD＝AB·ACBC＝2a·2a6a＝233a.在Rt△AOD中，sin∠ADO＝AOAD＝a233a＝32.∴∠ADO＝60°，即二面角A－BC－O的大小是60°.[归纳升华]求二面角的步骤简称为“一作二证三求”.[同类练]☆1．矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝435，则二面角A－BD－P的度数为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：过A作AE⊥BD，连接PE，则∠AEP为所求角．由AB＝3，AD＝4知BD＝5.又AB·AD＝BD·AE，∴AE＝125，∴tan∠AEP＝435125＝33.∴∠AEP＝30°.答案：A[变式练]☆2.如图所示，四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，求二面角V－AB－C的大小．解析：如图，作VO⊥平面ABCD，垂足为O，则VO⊥AB，取AB中点H，连接VH，OH，则VH⊥AB.∵VH∩VO＝V，∴AB⊥平面VHO，∴AB⊥OH，∴∠VHO为二面角V－AB－C的平面角．易求VH2＝VA2－AH2＝(5)2－12＝4，∴VH＝2.而OH＝12AB＝1，∴∠VHO＝60°.故二面角V－AB－C的大小是60°.[拓展练]☆3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.(1)求证：平面PDE⊥平面PAD；(2)求二面角P－AD－E的大小．解析：(1)证明：由AB⊥BE，得AP⊥PE，同理，DP⊥PE，又∵AP∩DP＝P，∴PE⊥平面PAD，又PE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAD.(2)如题图，取AD的中点F，连接PF，EF.则PF⊥AD，EF⊥AD，∴∠PFE就是二面角P－AD－E的平面角，又PE⊥平面PAD，∴PE⊥PF.∵EF＝AB＝2，PF＝22－1＝1，∴cos∠PFE＝PFEF＝22.∴二面角P－AD－E的大小为45°.谢谢观看！