高一数学人教A版必修二课件第四章圆与方程411

第四章圆与方程4．1圆的方程4．1.1圆的标准方程学案·新知自解1．回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程．2．会根据已知条件求圆的标准方程．3．能准确判断点与圆的位置关系．圆的标准方程1.圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．定点→圆的______；定长→圆的______．圆心半径点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d＞rd＝rd＜r[化解疑难]对圆的标准方程的理解1．由圆的标准方程可直接得到圆的圆心和半径；反过来，已知圆的圆心和半径即可直接写出圆的标准方程．这一点体现了圆的标准方程的直观性.2．由圆的标准方程来看，要确定圆的标准方程需要三个独立的条件：圆心的横坐标、纵坐标以及圆的半径．若某点正好是圆的圆心，则该点是圆上的点吗？[提示]不是，因为从几何意义上讲圆指的是“圆圈”，圆上的点并不含圆心．从点与圆的位置关系看，圆心应该在圆内.1．已知A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116解析：圆心为AB的中点(1，－3)，半径为|AB|2＝126＋42＋－1＋52＝29，故选B.答案：B2．已知圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5，则原点与圆的位置关系是()A．原点在圆内B．原点在圆上C．原点在圆外D．以上都不对解析：∵(0－1)2＋(0＋2)2＝5，∴(0,0)点在圆上．答案：B3．圆心是点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是________．解析：圆的半径r＝32＋42＝5.所以圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.答案：(x－3)2＋(y－4)2＝25教案·课堂探究求圆的标准方程自主练透型过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4解析：法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知条件知1－a2＋－1－b2＝r2，－1－a2＋1－b2＝r2，a＋b－2＝0，解此方程组，得a＝1，b＝1，r2＝4.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.法二：设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，∴可设点C的坐标为(a,2－a)．又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.∴a－12＋2－a＋12＝a＋12＋2－a－12，解得a＝1.∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝1－－1－1－1＝－1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，由y＝x，x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，即圆心为(1,1)，圆的半径为1－12＋[1－－1]2＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.答案：C[归纳升华]确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.1．求圆心在x轴上，且过点A(5,2)和B(3，－2)的圆的标准方程．解析：法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．则b＝0，5－a2＋2－b2＝r2，3－a2＋－2－b2＝r2.解得a＝4，b＝0，r＝5.所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.法二：因为圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，所以圆心一定在线段AB的中垂线上．AB中垂线的方程为y＝－12(x－4)，令y＝0，得x＝4.即圆心坐标C(4,0)，所以r＝|CA|＝5－42＋2－02＝5.所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.点与圆的位置关系多维探究型如图，已知两点P1(4,9)和P2(6,3)．(1)求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外．解析：(1)设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为P1P2的中点，得a＝4＋62＝5，b＝9＋32＝6，又由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝4－52＋9－62＝10，故所求圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10.(2)由(1)知，圆心C(5,6)，则分别计算点到圆心的距离：|CM|＝6－52＋9－62＝10；|CN|＝3－52＋3－62＝13＞10；|CQ|＝5－52＋3－62＝3＜10.因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．[归纳升华]判断点与圆位置关系的两种方法1．几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．2．代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2r2；点P(x0，y0)在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2r2.2．(1)点(0,0)在圆(x－1)2＋y2＝t2的外部，则t的范围是____________．(2)点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是()A．a－1或a1B．－1a1C．0a1D．a＝±1解析：(1)由条件知t2(0－1)2＋02＝1，∴－1t1.(2)由题意可知，(1－a)2＋(1＋a)24，解得a21，解得－1a1.答案：(1)－1t1(2)B圆的方程的应用多维探究型一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？[规范解答]以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.3分设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2).5分设圆的半径长为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.8分当水面下降1米后，可设A′(x0，－3)(x0＞0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得2x0＝251，即当水面下降1米后，水面宽251米.12分[归纳升华]对于圆的方程的应用时注意：一是恰当建系，二是注意利用完整圆还是圆的一部分.3．如图所示是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，在建造时每隔4m需用一个支柱，求支柱CD的长度．(精确到0.01m)解析：建立如图所示的直角坐标系，则圆心在y轴上．设圆心的坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.下面用待定系数法求b和r的值．因为P，B都在圆上，所以它们的坐标P(0,4)，B(10,0)都适合圆的方程，于是得到方程组02＋4－b2＝r2，102＋0－b2＝r2，解得b＝－10.5，r2＝14.52，所以圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52，把点C的横坐标x＝－2代入上述方程，得(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52.于是y＝14.52－－22－10.5≈14.36－10.5＝3.86，即CD的长约为3.86m.谢谢观看！