高一数学人教版A版必修二课件232平面与平面垂直的判定

第二章§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2平面与平面垂直的判定1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角；3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学新知探究点点落实知识点一二面角思考1观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状.数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？答案二面角.思考2平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？答案二面角的平面角.答案1.定义：从一条直线出发的___________所组成的图形.2.相关概念：①这条直线叫二面角的___，②两个半平面叫二面角的___.3.画法：答案两个半平面棱面4.记法：二面角_________或___________或________，或P－AB－Q.5.二面角的平面角：若有①O___l；②OA___α，OB___β；③OA___l，OB___l，则二面角α－l－β的平面角是________.答案α－l－βα－AB－βP－l－Q∈⊂⊂⊥⊥∠AOB知识点二平面与平面垂直思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？答案都是垂直.1.平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直.(2)画法：记作：_______.答案直二面角α⊥β2.判定定理答案文字语言一个平面过另一个平面的______，则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α，______⇒α⊥β返回垂线l⊂β题型探究重点难点个个击破类型一定义法判定两平面垂直例1如图，在四面体ABCD中，求证：平面ABD⊥平面BCD.反思与感悟BD＝2a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.解析答案跟踪训练1如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.求证：平面ABC⊥平面BSC.解析答案证明取BC中点D，连接SD、AD，由SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，得AB＝AC＝SA.∴AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS是二面角A－BC－S的平面角.又∠BSC＝90°令SA＝1，则SD＝22，AD＝22，，∴SD2＋AD2＝SA2.∴∠ADS＝90°，∴平面ABC⊥平面BSC.类型二面面垂直的判定定理判定两平面垂直例2如图，在四棱锥P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD且ABCD是菱形.求证：平面PAC⊥平面PBD.证明∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.又∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.解析答案反思与感悟跟踪训练2如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，证明：平面BDC1⊥平面BDC.证明由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.解析答案AC＝12AA1，D是棱AA1的中点.类型三求二面角的大小例3如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点.(1)求点C到平面A1ABB1的距离；解析答案解由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB，又CD⊥AA1，故CD⊥面A1ABB1，所以C到平面A1ABB1的距离为CD＝BC2－BD2＝5.(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值.解析答案反思与感悟跟踪训练3如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC.(1)证明：BD⊥平面SAC；证明∵SB＝BC，且E为SC的中点，∴BE⊥SC，又∵DE⊥SC，∴SC⊥平面BDE，∴BD⊥SC，∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BD，∴BD⊥平面SAC.解析答案返回(2)求二面角E－BD－C的大小.解由(1)BD⊥平面SAC可得BD⊥DE且BD⊥AC，∴∠EDC为二面角E－BD－C的平面角，设SA＝a，则AB＝a，解析答案在Rt△ABS中，SB＝2a，∴BC＝2a，在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝3a，∴SC＝2a，∴∠ASC＝60°，又∵∠EDC＝∠ASC，∴∠EDC＝60°，∴二面角E－BD－C的大小为60°.123达标检测4解析答案1.直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是()A.平行B.可能重合C.相交且垂直D.相交不垂直解析由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.C1234解析答案2.下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是()A.①③B.②④C.③④D.①②解析①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角.故选B.B12343.如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，则二面角A－BC－O的大小为________.解析答案1234解析答案4.如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点.求证：面EFC⊥面BCD.证明∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD.又EF∩CF＝F，∴BD⊥面EFC.∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD.规律与方法1.求二面角的步骤简称为“一作二证三求”.2.作二面角的三种常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，则∠AOB为二面角α－l－β的平面角.(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角.(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角，如图③，∠AOB为二面角α－l－β的平面角.返回3.证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义；(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.