高一数学课件幂函数高一数学课件

2.3本课栏目开关填一填研一研练一练2.3【读一读学习要求，目标更明确】1．通过具体实例了解幂函数的概念；2.会画幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x1－，y＝x12的图象，并通过其图象了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用．【看一看学法指导，学习更灵活】类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，通过五个具体幂函数认识幂函数的图象与性质．体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，体验由特殊到一般、由具体到抽象的学习方法，进一步渗透数形结合与类比的思想方法.本课栏目开关填一填研一研练一练2.31．一般地，_____________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．所有的幂函数图象都过点__________，在(0，＋∞)上都有定义．3．若α0时，幂函数图象过点______________，且在第一象限内__________；当0α1时，图象上凸，当α1时，图象__________．函数y＝xα(1,1)(0,0)，(1,1)递增下凸填一填·知识要点、记下疑难点本课栏目开关填一填研一研练一练2.34．若α0，则幂函数图象过点__________，并且在第一象限内单调__________，在第一象限内，当x从＋∞趋向于原点时，函数在y轴右方无限地逼近于y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴．5．当α为奇数时，幂函数图象关于_________对称；当α为偶数时，幂函数图象关于_________对称．6．幂函数在第________象限无图象.(1,1)递减原点y轴四本课栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点2.3问题探究一幂函数的概念导引1(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数．(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数．(3)如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V＝a3，这里V是a的函数．本课栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.3(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a＝S12，这里a是S的函数．(5)如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v＝t－1km/s，这里v是t的函数．本课栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.3问题1导引1中函数的对应关系分别是什么？答(1)乘以1；(2)求平方；(3)求立方；(4)求算术平方根；(5)求－1次方．问题2导引1中的5个函数有什么共同特征？答导引1中涉及到的函数，都是形如：y＝xα，其中x是自变量，α是常数．小结幂函数定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．本课栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.3问题3判断一个函数是不是幂函数的标准是什么？答只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为一常数这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝x24都不是幂函数．本课栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.3例1在函数y＝1x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为()A．0B．1C．2D．3解析∵y＝1x2＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1),所以常函数y＝1不是幂函数．B本课栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.3小结只有在形式上完全符合幂函数的定义的式子，才是幂函数，否则就不是．本课栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.3跟踪训练1已知y＝(m2＋2m－2)mx21－＋2n－3是定义域为R的幂函数，求m，n的值．解由题意得m2＋2m－2＝1m2－1≠02n－3＝0，解得m＝－3n＝32，所以m＝－3，n＝32.本课栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.3问题探究二幂函数的图象和性质导引2如下图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；(2)y＝x12；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象，思考下列问题：本课栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.3问题1你能从这五个具体的函数图象中，发现什么规律？答(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)α0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α1时，幂函数的图象下凸；当0α1时，幂函数的图象上凸；本课栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.3(3)α0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．(5)在第一象限，作直线x＝a(a1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．本课栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.3问题2仔细观察你画出的五个函数的图象，你能填写表格的内容吗？y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域值域奇偶性单调性本课栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.3答y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇本课栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.3单调性增在[0，＋∞)上增增增在(0，＋∞)上减在(－∞，0]上减在(－∞，0)上减本课栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.3例2证明幂函数f(x)＝x在[0，＋∞)上是增函数．证明任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1x2，研一研·问题探究、课堂更高效则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＝x1－x2x1＋x2x1＋x2＝x1－x2x1＋x2，因x1－x20，x1＋x20，所以f(x1)f(x2)，即f(x)＝x在[0，＋∞)上是增函数．本课栏目开关填一填研一研练一练2.3小结证明函数的单调性，一般是利用单调性的定义进行证明，证明的关键是通过变形，能够得出各因式的正负，从而能判断出f(x1)－f(x2)的正负．本课栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.3跟踪训练2求证：函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．证明设x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1x2，则研一研·问题探究、课堂更高效f(x1)－f(x2)＝(－x31＋1)－(－x32＋1)＝x32－x31＝(x2－x1)(x21＋x1x2＋x22)．本课栏目开关填一填研一研练一练2.3∵x1x2，∴x2－x10，研一研·问题探究、课堂更高效又∵x21＋x1x2＋x22＝x1＋x222＋34x22且x1＋x222≥0与34x22≥0.上式中两等号不能同时取得(否则x1＝x2＝0与x1x2矛盾)，∴x21＋x1x2＋x220，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上为减函数．本课栏目开关填一填研一研练一练2.3例3比较大小：(1)1.512，1.712；(2)(－1.2)3，(－1.25)3；(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2.解(1)∵y＝x12在[0，＋∞)上是增函数，1.51.7，∴1.5121.712；(2)∵y＝x3在R上是增函数，－1.2－1.25，∴(－1.2)3(－1.25)3；本课栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.3(3)∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.255.26，∴5.25－15.26－1；∵y＝5.26x是增函数，－1－2，∴5.26－15.26－2.综上，5.25－15.26－15.26－2.小结比较两个幂的大小要仔细观察它们的异同点，指数相同底数不同时，要利用幂函数的单调性比较，底数相同而指数不同时，要利用指数函数的单调性比较，指数与底数都不同时，要通过增加一个数起桥梁作用时进行比较．本课栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.3变式训练3比较下列各组数的大小：(1)--878和－7819；(2)(－2)－3和(－2.5)－3；(3)(1.1)－0.1和(1.2)－0.1；(4)(4.1)25，-(3.8)23和(-1.9)35.本课栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.3解(1)--878＝－7818，函数y＝x78在(0，＋∞)上为增函数，(2)幂函数y＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，(3)幂函数y＝x－0.1在(0，＋∞)上为减函数，(4)(4.1)25125＝1；0-(3.8)23-123＝1；(-1.9)350，又1819，则78187819，从而--878－7819.又∵－2－2.5，∴(－2)－3(－2.5)－3.又∵1.11.2，∴1.1－0.11.2－0.1.∴(-1.9)35-(3.8)23(4.1)25.本课栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效2.31．设α∈－1，1，12，3，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为()A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3A2．下列幂函数中为偶函数的是()A．y＝x－1B．y＝x12C．y＝x3D．y＝x2D本课栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处2.33．下列函数中不是幂函数的是()A．y＝xB．y＝x3C．y＝2xD．y＝x－1解析根据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，选项C中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C不是幂函数．C本课栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处2.31．幂函数在第一象限内指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．本课栏目开关填一填研一研练一练2.32．求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数nm中的m是否为偶数；判断幂函数的奇偶性时要看指数nm中的m、n是奇数还是偶数．y＝xα，当α＝nm(m、n∈N*，m、n互质)时，有：nmy＝xnm的奇偶性定义域奇数偶数非奇非偶函数[0，＋∞)偶数奇数偶函数(－∞，＋∞)奇数奇数奇函数(－∞，＋∞)本课栏目开关填一填研一研练一练