线性回归论文

沼气生成问题(一)问题提出：沼气的主要成分是甲烷，它是由含纤维素的有机物质在隔绝空气的情况下受到细菌分解作用所产生的一种有毒易燃气体。在我国农村广泛的利用沼气池生成沼气，作为一种卫生快捷的燃料，一般使用植物秸秆残体在保持一定湿度和温度的条件下，并与空气隔绝一段时间后经自然分解而成。经验证明，如果适当的加入一些有机肥料作为发酵剂，则可以加快沼气的形成。下面是一个确定沼气池中加入相同数量的同质植物秸秆，加入不同数量的水（w）和有机肥（F）后形成沼气的时间（T）对比数据，请根据这些实验数据分析研究沼气形成的时间与水和有机肥料之间的关系，并由此关系讨论最佳的配料方案。w,F,T关系实验数据：试验次数123456789w(kg)300400500300400500300400500F(kg)200200200250250250300300300T(h)776859666252595550（二）模型的假设与分析一、模型假设（1）设试验数据实在相同的试验条件下进行试验所取得的，即沼气池的大小形状相同，秸秆和有机肥料相同，其自身的含水量也相同。（2）在此不考虑环境温度的影响，虽然在相同的条件下高温可以促使沼气的形成，但实际中的环境温度一般是不可控的，于是我们认为总是在一定的适宜温度范围内，温度因素对形成沼气的时间影响不大。（3）每次试验是独立进行的，且w,F,T的试验值是准确的。二、模型分析根据沼气的自然形成原理和相关知识，我们知道在同等条件下，水分和肥料各自都对沼气的形成起到一定的促进作用，而且二者之间也存在着一定的交互效应，即二者用量多少的不同，其效果是不同的。表现为沼气形成的时间不仅与水和肥料的用量有关，而且还与二者的交互作用有关。因此，一般认为沼气形成时间T的长短应该是加水量W和肥料用量F的二次多项式函数，为此，我们可以采用线性回归的方法来研究他们之间的关系。（三）模型建立与求解为了便于问题的描述，我们并不直接将沼气形成的时间T表示成w,F的函数，根据试验数据的分布情况，在这里我们引入二个新的变量：为此，我们可以将时间T表示为u1,u2的二次多项式函数。首先构造正交的多项式，由试验数据可以得到相关的新数据，如下表：W,F的试验数据转换为u1、u2的数据试验次数123456789uin1-101-101-1010n2-1-1-10001110实际上可以证明：在9个试验点上是正交的，其中向量u=(u1,u2)T50250,10040021FuWu24213121)(,)(,)(,1)(uuuuuuu216225)(,32uuuuu）（21622524213121665544332211)32()32()()()()()()()(uuuuuuuuuuuuuT用最小二乘法求所有的回归系数βi(i=1,2,…,6)。但事实上我们根据其正交性，将u1,u2的试验数据带入回归模型中，便可计算出回归系数的估计值。进而可得到各变量的偏回归平方和为：由上式可计算出总残缺平方和为：而且其自由度为fE=9-6=3在所有偏回归平方和中最小的是，所对应的解释变量为，它是否要从模型中删除掉需要我们作进一步显著性检验。17.16783.6641619549321，，25.24933.13467.6320654，，72.2,17.280,367.33)3()2()1(EEEssssss25.20,56.3,67.266)6()5()4(EEEssssss9191)(235.347.3394033944ikkEiEssyss27.2)3(Ess32)(213uu取显著水平=0.05时，查表的Fα(1,3)=10.1即F(1,3)Fα(1,3)于是在模型的作用是不显著的，可以讲此项从模型中删除，而后将偏回归方差和加入到总残差平方和中去（这是因为模型是由交变量构成的，所以可以直接求和），即为接下来要进一步考察偏回归平方和与次小的解释变量的显著性。显然，次小的是：对显著水平α=0.05，查表得Fα(1,4)=7.71即F(1,4)Fα(1,4)，于是φ5(u)在模型中的作用还是不显著，可以将此项从模型中剔除。而后将相应的偏回归平方和加到总残差平方和中去，，即为：统计量为则由于FfssMsssMsEEEEE,77.1,27.2)3()3(31.2177.172.2)3,1(3EEMsMsF32)(213uu5625.1,4,25.672.253.3EEEMsfss均值为自由度为784.25625.156.3)4,1(,32)(56.3)5(225)5(EEEMsMsFuuss类似的可以计算，对应的解释变量为再考察偏回归平方和与第三小的解释变量的显著性。显著水平α=0.05，查表得Fα(1,4)=6.61即F(1,4)Fα(1,4)于是φ6(u)在模型中的作用是显著的，因此，我们最后确定的回归模型为：进而在可行范围内确定沼气的生成时间T与水W及肥料F的函数关系。根据回归模型T(u)可以确定当。均值为，，自由度为962.1581.956.325.6EEEMsfss216)6()(25.20uuussE，对应的解释变量为应为216)6()(25.20uuussE，对应的解释变量为应为21214932064161)(uuuuuT代入上式将50250,10040021FuWu3,963.2278021uu即W=696kg,F=400kg时生成沼气的时间有最小值T=40h。