高三数学课件函数单调性高三数学课件

定州二中高三数学组2020年6月14日星期日函数的单调性第三章导数二导数的应用定州二中高三数学组2020年6月14日星期日函数的单调性3.6函数的单调性定州二中高三数学组2020年6月14日星期日函数的单调性复习引入：问题：怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，(1)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.(2)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.2．由定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)设x1、x2是给定区间的任意两个值，且x1x2.(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形.(3)判断差的符号，从而得函数的单调性.定州二中高三数学组2020年6月14日星期日函数的单调性例1讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.解：取x1x2,,x1、x2∈R，f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3）=（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2）=(x1－x2)(x1+x2－4）则当x1x22时，x1+x2－40，f(x1)f(x2)，所以y=f(x)在区间(-∞,2)单调递减。当2x1x2时，x1+x2－40，f(x1)f(x2)，所以y=f(x)在区间(2,+∞)单调递增。综上y=f(x)单调递增区间为（2，+∞）y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。321fx=x2-4x+3xOyBA0yx12-1-2单增区间：(-∞，-1)和（1，+∞）.例2讨论函数y=x+的单调性。x1单减区间：(-1，0）和（0，1）.定州二中高三数学组2020年6月14日星期日函数的单调性发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时,如：y=x+1/x.是否有更为简捷的方法呢？下面我们通过单调函数的图象来考察一下：定州二中高三数学组2020年6月14日星期日函数的单调性单调性的判别法xyo)(xfyxyo)(xfyabAB0)(xf0)(xfabBA从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的。这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调性？进一步,若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）角，曲线就是上升（下降）的.定州二中高三数学组2020年6月14日星期日函数的单调性2yx0.......观察函数y=x2－4x＋3的图象：总结:该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负,在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.定州二中高三数学组2020年6月14日星期日函数的单调性结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间如果f′(x)0,则f(x)为增函数;如果f′(x)0,则f(x)为减函数.注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数.结论应用：由以上结论可知，函数的单调性与其导数有关，即我们可以利用导数法去探讨函数的单调性。现举例说明：定州二中高三数学组2020年6月14日星期日函数的单调性例3.确定函数在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.42)(2xxxf22)('xxf解：,1,022xx解得令是增函数；时，因此，当)(),1(xfx，解得再令1,022xx是减函数；时，因此，当)()1,(xfx21fx=x2-2x+4xOy定州二中高三数学组2020年6月14日星期日函数的单调性例4求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.解:函数的定义域为R,令6x2-12x0,解得x0或x2，则f(x)的单调递增区间为(－∞,0)和(2,＋∞).再令6x2-12x0,解得0x2,则f(x)的单调递减区间为(0,2).注:当x=0或2时,f′(x)=0,即函数在该点单调性发生改变.f′(x)=6x2-12x21fx=2x3-6x2+7xOy定州二中高三数学组2020年6月14日星期日函数的单调性例5求函数y=x2(1－x)3的单调区间.解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1)=x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x)令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜.∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，)令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞且x≠1.∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(，+∞)52525252125fx??=x2?1-x??3xOy注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.定州二中高三数学组2020年6月14日星期日函数的单调性总结：根据导数确定函数的单调性一般需三步：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f′(x)0,得函数单增区间;解不等式f′(x)0,得函数单减区间.定州二中高三数学组2020年6月14日星期日函数的单调性课堂练习：1．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x(2)y=x－x32.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的单调区间.3.求下列函数的单调区间(1)y=(2)y=(3)y=+xxx292xxx定州二中高三数学组2020年6月14日星期日函数的单调性练习求函数f(x)=x2-lnx2的单调区间.求函数f(x)=x2-2lnx的单调区间定州二中高三数学组2020年6月14日星期日函数的单调性练习讨论函数y=的单调性.2x-x2解:函数的定义域为(0,2).y′=,解不等式y′0得:0x1,则函数的单增区间为(0,1).解不等式y′0得:1x2,则函数的单减区间为(1,2).2x-x21-x定州二中高三数学组2020年6月14日星期日函数的单调性例6证.)1ln(,0成立试证时当xxx),1ln()(xxxf设.1)(xxxf则,0)(,010xfxxx即，上单调增加；在),0[0)0()(fxf从而有时，当0x,0)1ln(xx).1ln(xx即注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,,3xy,00xy.),(上单调增加但在定州二中高三数学组2020年6月14日星期日函数的单调性练习：当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x.分析：假设令f(x)=e2x－1－2x.∵f(0)=e0－1－0=0,如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以证明.证明：令f(x)=e2x－1－2x.∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0,即f′(x)＞0∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数.∵f(0)=e0－1－0=0.∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0.∴1+2x＜e2x点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0定州二中高三数学组2020年6月14日星期日函数的单调性巩固提高：1.证明：方程x-sinx=0只有一个实根x=0.21巩固提高：求函数y=x-2sinx(0≤x≤2π）单调区间.定州二中高三数学组2020年6月14日星期日函数的单调性归纳总结:1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f′(x)0,则f(x)为增函数;如果f′(x)0,则f(x)为减函数.2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中应用.