高三数学课件平面向量的数量积高三数学课件

平面向量的数量积一、知识梳理：•1、平面向量的数量积•（1）a与b的夹角：•（2）向量夹角的范围：•（3）向量垂直：[00，1800]abθ共同的起点aOABbθOABOABOABOAB（4）两个非零向量的数量积：•规定：零向量与任一向量的数量积为0a·b=|a||b|cosθ几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。AabθBB1OBAθbB1aOθBb(B1)AaO2、平面向量数量积的重要性质•（1）e·a=a·e=|a|cosθ•（2）a⊥b的充要条件是a·b=0•(3)当a与b同向时，a·b=|a||b|;•当a与b反向时，a·b=-|a||b|•特别地：a·a=|a|2或|a|=••（4）cosθ=（5）|a·b|≤|a||b|ab为非零向量，e为单位向量3、平面向量的数量积满足的运算率（1）(交换律）a·b=b·a（2）（实数与向量结合律）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）（3）（分配律）（a+b）·c=a·c+b·c二、基础练习1、判断下列命题的真假•（1）平面向量的数量积可以比较大小•（2）因为直线的夹角范围为[00，900]，所以向量的夹角范围也为[00，900]。（3）已知b为非零向量因为0×a=0，a·b=0,所以a=0•(4)对于任意向量a、b、c，都有a·b·c=a·（b·c）2已知|a|=12，|b|=9，a·b=-54√2，求a和b的夹角3、已知△ABC中，a=5，b=8，C=600，求BC·CA4、已知|a|=8，e是单位向量，当它们之间的夹角为∏/3，a在e方向上的投影为ABC三、典型例题•例1、已知（a–b）⊥（a+3b），求证：|a+b|=2|b|解：∵（a–b）⊥（a+3b）∴（a–b）·（a+3b）=0即a·a+3a·b–b·a–3b·b=0即a·a+2a·b–3b·b=0∴(a+b)2=4b2即|a+b|2=4|b|2∴|a+b|=2|b|例2、已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a–5b垂直，a–4b与7a–2b垂直，求a与b的夹角。•解：∵（a+3b）⊥（7a–5b）（a–4b）⊥（7a–2b）∴（a+3b）·（7a–5b）=0且（a–4b）·（7a–2b）=0即7a·a+16a·b–15b·b=07a·a-30a·b+8b·b=0两式相减得：2a·b=b2，代入其中任一式中得:a2=b2cosθ=例3、求证：直径所对圆周角为直角•证明：设AC是圆O的一条直径，∠ABC为圆周角，如图CB0Ab•设AO=a，OB=b，•则AB=a+b，OC=a，则BC=OC-OB=a-b•∵|a|=|b|•∴AB·BC=（a+b）·（a-b）=a2-b2=|a|2-|b|2=0∴AB⊥BC∴∠ABC=900即直径所对圆周角为直角a四、巩固练习1、已知△ABC中，AB=a，AC=b，当a·b0,a·b=0时，△ABC各是什么样的图形？2、已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角θ=1500，求a·b，(a+b)2，|a+b|3、设a是非零向量，且b≠c，求证：a·b=a·c的充要条件是a⊥（b-c）4、若b=（1，1）且a·b=0，（a–b）2=3，求向量a的模5、证明：（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）制作人：杨亚•江苏省宿豫中学