高三数学课件离散型随机变量的期望高三数学课件

复习提问1、什么是离散型随机变量的分布列？它具有什么性质？2、离散型随机变量的分布列指出了什么？3、离散型随机变量分布列能否反映随机变量取值的平均水平？随机变量的分布列从概率的角度指出了随机变量的分布规律，但不能明显反映随机变量取值的平均水平。问题1某射手射击所得环数ξ的分布列如下：0.220.290.280.090.060.040.02p10987654ξ1、射手在n次射击中，命中4环，5环，…，10环，大约各多少次？2、射手n次射击中，总环数等于多少？4、对任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个p(ξ=i)(i=0,1,2,…10)，则可预计射击的平均环数约等于多少？3、n次射击中，平均环数约等于多少？定义一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为……pn……p3p2p1p……xn……x3x2x1ξ则称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望。它体现了离散型随机变量取值的平均水平。问题2若η=aξ+b，其中a,b为常数，ξ为随机变量1、写出随机变量η的分布列；2、求η的期望。解：1、因为P（η=aξ+b）=P（ξ=xi)=pi,i=1,2,3,…所以，η的分布列为：……pn……p2p1p……axn+b……ax2+bax1+bη2、Eη=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn+…=a(x1p1+x2p2+…+xnpn+…)+b(p1+p2+…+pn+…)=aEξ+b即E(aξ+b)=aEξ+b问题31、设在一次试验中，某事件发生的概率为P，η是一次试验中此事件发生的次数，求Eη。2、根据上述问题的计算，猜想：若ξ~B（n，P），则Eξ=？若ξ~B（n，P），则Eξ=nP。证明：因为knkknppCkP--==)1()(x=Cnkpkqn-k(令q=1-p),又kCnk=nCn-1k-1所以Eξ=0×Cn0p0qn-1+1×Cn1p1qn-1+…+kCnkpkqn-k+…nCnnpnq0=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np所以，若ξ~B（n，P），则Eξ=nP。1、解：令q=1-p,则P(η=0)=q,P(η=1)=p=Eη=0×q+1×p,1Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…2E(aξ+b)=aEξ+b3二项分布︰若ξ~B（n，P），则Eξ=nP4几何分布︰若p(ξ=k)=g(k，p)，则Eξ=1/p离散型随机变量ξ的期望及公式假如你是一位商场经理，在五一那天想举行促销活动，根据统计资料显示，若在商场内举行促销活动，可获利2万元；若在商场外举行促销活动，则要看天气情况:不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%，你应选择哪种促销方式？商场促销问题例1、商场促销问题解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效益为万元，则的分布列为0.40.6P－410E=10×0.6＋(－4)×0.4=4.4万元变式1：若下雨的概率为0.6呢?变式2:下雨的概率为多少时，在商场内、外搞促销没有区别。＞2万元,故应选择在商场外搞促销活动。例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中率得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分ξ的期望。例3.随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的期望反思：1、求期望的一般步骤：1）求出分布列；2）利用定义求期望。2、数学期望与算术平均值的关系。例4.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次。求抽查次数ξ的期望（结果保留三个有效数字）。分析：（1）P（ξ=k）=0.85k-1×0.15,（k=1，2，…，9）k=10时，前9次取出的都是正品，第10次可能取出次品，也可能取出正品，所以P（ξ=10）=0.859×（0.15+0.85）=0.859（2）写出ξ的分布列，由概率分布可得练习：1、某射手共有5发子弹，命中率是0.9，假定射中目标就停止射击，求射击次数ξ的期望。2、已知ξ的分布列为1/61/31/2p10-1ξ且设η=2ξ+3，则η的期望值是（）A、7/3B、4C、-1D、1A例5.一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项其中有且仅有一个选项是正确的答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分，学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个，求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。1、本节课学习了离散型随机变量ξ的期望及公式：2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。课堂小结：(1)E=x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…(2)E(aξ+b)=aEξ+b;(3)二项分布︰若ξ～B（n,p），则Eξ=np几何分布︰若p(ξ=k)=g(k，p)，则Eξ=1/p