高中数学212指数函数及其性质教案新人教A版必修1

2.1.2指数函数及其性质（第一课时）教学目标：1、理解指数函数的概念2、根据图象分析指数函数的性质3、应用指数函数的单调性比较幂的大小教学重点：指数函数的图象和性质教学难点：底数a对函数值变化的影响教学方法：学导式（一）复习：（提问）引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是：2xy．这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量x作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量。（二）新课讲解：1．指数函数定义：一般地，函数xya（0a且1a）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R．练习：判断下列函数是否为指数函数。①2yx②8xy③(21)xya（12a且1a）④(4)xy⑤xy⑥1225xy⑦xyx⑧10xy．2.指数函数xya（0a且1a）的图象：例1．画2xy的图象（图（1））．解：列出,xy的对应表，用描点法画出图象x…-3-2-1.5-1-0.500.511.523…2xy…0.130.250.350.50.7111.422.848…例2．画1()2xy的图象（图（1））．x…-3-2-1.5-1-0.500.511.523…1()2xy…842.821.410.710.50.350.250.13…2xy1()2xy图（1）指出函数2xy与1()2xy图象间的关系？说明：一般地，函数()yfx与()yfx的图象关于y轴对称。3．指数函数xya在底数1a及01a这两种情况下的图象和性质：1a01a图象性质（1）定义域：R（2）值域：(0,)（3）过点(0,1)，即0x时1y（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数例3．已知指数函数()(0,1)xfxaaa的图象经过点(3,)，求(0),(1),(3)fff的值（教材第66页例6）。例4．比较下列各题中两个值的大小：2.53(1)1.7,1.7；0.10.2(2)0.8,0.80.33.1(3)1.7,0.9（教材第66页例7）小结：学习了指数函数的概念及图象和性质；练习：教材第68页练习1、3题。作业：教材第69页习题2。1A组题第6、7、8题22..11..22指指数数函函数数及及其其性性质质（（第第二二课课时时））教学目标：1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质；2.能求由指数函数复合而成的函数定义域、值域；3.掌握比较同底数幂大小的方法；4.培养学生数学应用意识。教学重点：指数函数性质的运用教学难点：指数函数性质的运用教学方法：学导式（一）复习：（提问）1．指数函数的概念、图象、性质2．练习：（1）说明函数34xy图象与函数4xy图象的关系；（2）将函数21()3xy图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式是；（3）画出函数1()2xy的草图。（二）新课讲解：例1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）。分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y.经过1年，剩留量y=1×84%=0.841；经过2年，剩留量y=1×84%=0.842；……一般地，经过x年，剩留量0.84xy，根据这个函数关系式可以列表如下：x0123456y10.840.710.590.500.420.35用描点法画出指数函数0.84xy的图象。从图上看出0.5y，只需4x.答：约经过4年，剩留量是原来的一半。例2．说明下列函数的图象与指数函数2xy的图象的关系，并画出它们的示意图：（1）12xy；（2）22xy．解：（1）比较函数12xy与2xy的关系：312y与22y相等，212y与12y相等，212y与32y相等，……由此可以知道，将指数函数2xy的图象向左平移1个单位长度，就得到函数12xy的图象。（2）比较函数22xy与2xy的关系：122y与32y相等，022y与22y相等，322y与12y相等，……由此可以知道，将指数函数2xy的图象向右平移2个单位长度，就得到函数22xy的图象。说明：一般地，当0a时，将函数()yfx的图象向左平移a个单位得到()yfxa的图象；当0a时，将函数()yfx的图象向右平移||a个单位，得到()yfxa的图象。练习：说出下列函数图象之间的关系：（1）11yx与1yx；（2）3xy与3xay；（3）22yxx与22yxx．例3．求下列函数的定义域、值域：（1）1218xy（2）11()2xy（3）3xy（4）1(0,1)1xxayaaa．解：（1）210x∴12x原函数的定义域是1{,}2xxRx，令121tx则0,ttR∴8(,0)tytRt得0,1yy，所以，原函数的值域是{0,1}yyy．（2）11()02x∴0x原函数的定义域是0,，令11()2xt(0)x则01t，yt在0,1是增函数∴01y，所以，原函数的值域是0,1．（3）原函数的定义域是R，令tx则0t，3ty在,0是增函数，∴01y，所以，原函数的值域是0,1．（4）原函数的定义域是R，由1(0,1)1xxayaaa得11xyay，0xa∴101yy，∴11y，所以，原函数的值域是1,1．说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。小结：1．学会怎样将应用问题转化为数学问题及利用图象求方程的解；2．学会灵活地应用指数函数的性质比较幂的大小及求复合函数的值域。3．了解函数()yfx与()yfx及函数()yfx与()yfxa图象间的关系。作业：习题2.1第3，5，6题22..11..22指指数数函函数数及及其其性性质质（（第第三三课课时时））教学目标：1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法；2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法；3.培养学生的数学应用意识。教学重点：函数单调性、奇偶性的证明通法教学难点：指数函数性质的运用教学方法：学导式（一）复习：（提问）1.指数函数的图象及性质2.判断及证明函数单调性的基本步骤：假设→作差→变形→判断3.判断及证明函数奇偶性的基本步骤：（1）考查函数定义域是否关于原点对称；（2）比较()fx与()fx或者()fx的关系；（3）根据函数奇偶性定义得出结论。（二）新课讲解：例1．当1a时，证明函数11xxaya是奇函数。证明：由10xa得，0x，故函数定义域{0}xx关于原点对称。1()1xxafxa(1)(1)xxxxaaaa11xxaa()fx∴()()fxfx，所以，函数11xxaya是奇函数。评析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幂运算性质。例2．设a是实数，2()()21xfxaxR，（1）试证明：对于任意,()afx在R为增函数；（2）试确定a的值，使()fx为奇函数。分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。（1）证明：设1212,,xxRxx，则12()()fxfx1222()()2121xxaa21222121xx12122(22)(21)(21)xxxx，由于指数函数2xy在R上是增函数，且12xx，所以1222xx即12220xx，又由20x，得1120x，2120x，所以，12()()0fxfx即12()()fxfx．因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，()fx在R为增函数。评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。（2）解：若()fx为奇函数，则()()fxfx，即22()2121xxaa，变形得：2222(21)2(21)22121xxxxxxa，解得：1a，所以，当1a时,()fx为奇函数。评述：此题并非直接确定a值，而是由已知条件逐步推导a值。应要求学生适应这种题型。练习：（1）已知函数()fx为偶函数，当(0,)x时，1()2xfx,求当(,0)x时，()fx的解析式。（2）判断24xxya(0,1)aa的单调区间。小结：灵活运用指数函数的性质，并掌握函数单调性，奇偶性证明的通法。作业：（补充）1．已知函数21()21xxfx，（1）判断函数()fx的奇偶性；（2）求证函数()fx在(,)x上是增函数。2．函数22363xxy的单调递减区间是．3.已知函数()fx定义域为R，当0x时有()fx21()3xx，求()fx的解析式。