高中数学252求数列前n项和知识的运用示范教案新人教A版必修5

2.5.2求数列前n项和知识的运用从容说课上节课师生共同分析探究了等比数列的前n项和公式，从多种角度探索了等比数列前n项和公式的推导方法，在此基础上，这节课会进一步将等比数列前n项和公式与等比数列通项公式综合在一起应用成为可能等比数列的通项公式与前n项和公式中共涉及五个量，将两个公式结合起来，已知其中三个量可求另两个量，即已知a1,an,q,n,Sn五个量中的任意三个，就可以求出其余的两个量，这其中渗透了方程的思想.其中解指数方程的难度比较大，训练要控制难度和复杂程度，要大胆地摒弃“烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容求数列前n项和，不仅仅是数学中的数列知识的演绎，更主要的是实际生活中的许多等比数列问题需要用数列的知识加以解决.例如，教育储蓄问题、住房贷款问题等等，都是与数列求和有关的生活中的实际问题.通过数列知识在现实生活中广泛的应用，使学生经历从日常生活中的实际问题抽象出等比数列模型的过程，探索并掌握其中的一些基本的数量关系，感受数列这种特殊的数学模型的广泛应用，在运用它解决一些实际问题的过程中更多地体会数学的应用价值.同时，在解决问题的过程中也能对学生的价值观和世界观的培养有着积极的影响，充分发挥数学的教育功能教材例题3设计了一个与计算机相呼应的空间，明确指出：计算机可以帮助我们求一般数列的和.教师要让学生体会到循环结构既可用于数列描述，又可用于数列求和.从这里我们应该认识到，教材的设计和安排给学生和教师都留下了一定的空间，这个空间需要我们把握好，充实好.因此，这里需要适当地安排对一般数列求和的习题和练习，使学生对一般数列的求和有个简单的认识数列模型运用中蕴含着丰富的数学思想方法(如方程的思想、分类讨论思想、算法的思想等)，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等基本能力有着不可替代的作用.教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间教学重点1.求数列前n项和知识的灵活运用2.运用数列这个特殊的数学模型解决生产实际和社会生活中的实际问题教学难点运用数列模型解决生产实际和社会生活中相应的问题教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；2.用等比数列前n项和公式和有关知识解决现实生活中存在着大量的数列求和的计算问题；3.将等比数列前n项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题二、过程与方法1.采用启发、引导、分析、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学；2.给学生充分的独立思考、合作交流、自主探究的机会；3.进行严谨科学的解题思想和解题方法的训练三、情感态度与价值观1.通过数学本身知识的演绎推理和运算，提高学生深化对知识的理解和运用的水平以及将知识融汇贯通的能力；2.在独立思考、合作交流、自主探究中提高解题技能；3.在研究解决生产实际和社会生活中的实际问题的过程中了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值观教学过程导入新课师你知道我国银行中有一种专门的储蓄业务叫做“教育储蓄”吗？生根据自己所知道的，说出自己对“教育储蓄”的理解.(很可能是很笼统的、见字释义的理解师出示投影胶片1：银行关于教育储蓄的管理办法(节选)管理办法第七条教育储蓄为零存整取定期储蓄存款.存期分为一年、三年和六年.最低起存金额为50元，本金合计最高限额为2万元.开户时储户应与金融机构约定每月固定存入的金额，分月存入，中途如有漏存，应在次月补齐，未补存者按零存整取定期储蓄存款的有关规定办理第八条教育储蓄实行利率优惠.一年期、三年期教育储蓄按开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计息；六年期按开户日五年期整存整取定期储蓄存款利率计息第十一条教育储蓄逾期支取，其超过原定存期的部分，按支取日活期储蓄存款利率计付利息，并按有关规定征收储蓄存款利息所得税第十二条教育储蓄提前支取时必须全额支取，提前支取时，储户能提供“证明”的，按实际存期和开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息，并免征储蓄存款利息所得税；储户未能提供“证明”的，按实际存期和支取日活期储蓄存款利率计付利息，并按有关规定征收储蓄存款利息所得税.师着重引导学生注意关键的内容生理解文件中的内容师这是一个关系到我国每一个家庭的社会生活中的实际问题，其中大部分的计算都是用数列的知识.现在我们就来一起探索其中的数学内容推进新课［例题剖析］师出示投影胶片2：课本第70页B组题第4题：例1思考以下问题：(1)依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少元？(2)依教育储蓄的方式，每月存a元，连续存3年，到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少元？(3)依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期(3年)时一次可支取本息比同档次的“零存整取”多收益多少元？(4)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元，每月应存入多少元？(5)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计a万元，每月应存入多少元？(6)依教育储蓄方式，原打算每月存100元，连续存6年，可是到了4年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？(7)依教育储蓄方式，原打算每月存a元，连续存6年，可是到了b年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？(8)不用教育储蓄方式，而用其他的储蓄方式，以每月可存100元，6年后使用为例，探讨以现行的利率标准可能的最大收益，将得到的结果与教育储蓄比较.［合作探究］师要解决上面的这些问题，我们必须要了解一点银行的业务知识，据调查，银行整存整取定期储蓄存款利率计算公式是这样的：若每月固定存a元，连续存n个月，则计算利息的公式为2)1(nna×月利率师你能解释这个公式的含义吗？生独立思考、合作交流、自主探究师(在学生充分探究后揭示)设月利率为q，则这个公式实际上是数列：aq,2aq,3aq,…,naq,…的前n项和这个数列的项不正是依次月数的利息数？这个数列具有什么特征呢？生发现等差关系师用我们的数学语言来说，这是个首项为aq，公差为aq的等差数列，而不是一个等比数列.从这个公式中我们知道，银行整存整取定期储蓄存款利率计算不是按复利(利生息——利滚利)计算的我们把这样的计算利息的方法叫做按单利(利不生息——利不滚利)计算这是我们在计算时必须弄明白的，否则，我们计算的结果就会与银行计算的实际结果不一致.师我们还需要了解银行的三年期、五年期的整存整取的存款利率，以及三年期零存整取的存款利率和利息税率：三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%；五年整存整取存款年利率为2.79%，月利率为0.2325%；三年期零存整取存款年利率为1.89%，月利率为0.1575%；利息税率为师下面我们来看第一个问题的结果生计算，报告结果师生共同解答：(1)解：因为三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%，故依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期一次可支取本息共236)365050(×0.21%+1800＝1869.93(元因为五年整存整取存款年利率为2.79%，月利率为0.2325%，故依教育储蓄的方式，若每月存入每月存50元，连续存6年，到期一次可支取本息共272)725050(×0.2325%+3600＝3905.50(元(2)每月存入每月存a元，连续存3年，到期一次可支取本息共236)36(aa×0.21%+36a(元若每月存入每月存a元，连续存6年，到期一次可支取本息共272)72(aa×0.2325%+72a(元(3)因为三年期零存整取存款年利率为1.89%，月利率为0.1575%，故每月存50元，连续存3年，到期一次可支取本息共236)365050(×0.1575%×80%+1800=1841.96(元比教育储蓄的方式少收益27.97(元(4)设每月应存入x元，由教育储蓄的计算公式得236)36(xx×0.21%+36x＝解得x≈267.39(元)，即每月应存入267.39(元(5)设每月应存入x元，由教育储蓄的计算公式得236)36(xx×0.21%+36x＝10000a解得x=3986.3710000a=267.39a，即每月应存入267.39a(元(6)根据银行出台的教育储蓄《管理办法》，需要提前支取的，在提供证明的情况下，按实际存期和开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息，并免征储蓄存款利息所得税.故该学生支取时，应按照三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%进行计算.由计算公式得248)48100100(×0.21%+4800＝5046.96(元(7)与第6小题类似，应根据实际存期进行同档次计算一到两年的按一年期整存整取计息.一年期整存整取存款年利率为1.98%，月利率为，故当b=1或2时，由计算公式得212)12(bbaa×0.165%+12ab(元当b=3或4或5时，应按照三年期整存整取存款年利率为2.52%，月利率为0.21%进行计算.根据计算公式得212)12(bbaa×0.21%+12ab(元(8)此题可以选择多种储蓄方式，学生可能提供多个结果，只要他们计算方式符合规定的储蓄方式即可.教师可以组织学生讨论，然后选择一个最佳答案［概括总结］师在我们上述探究问题的过程中，我们学到了许多课本上没有的东西，增长了一些银行存款的知识.我们可以用这些知识去规划一下自己将来接受教育的存款计划，并与家长商量，看能不能付诸于现实；我们也可以为身边的亲朋好友当个小参谋，把你学到的知识讲解给他们听一听，看他们能不能接受你的意见和建议从生产实际和社会生活中，我们还能寻找到更多的探究题材，只要我们做个有心人，我们学到的知识就能与生产实际与社会生活紧密的结合起来说明：此例文字量大，阅读理解能力要求较高，但是弄通问题的基本含义后，因为其蕴含的数学知识和方法并不深奥，计算量也不大，所以可以说是一个非常好的探究性问题.可以猜想，这也是普通高中新课程标准推崇它作为一个典型例题的理由师下面的问题需要我们用更多的数学知识才能解决它出示投影胶片3：例2你能估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积吗？出示多媒体图片1：师如图，为了估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积x，把x轴上的区间［0，3］分成n等份.从各分点作y轴平行线与图象相交，再从各交点向左作x轴平行线，构成(n-1)个矩形.下面用程序来计算这(n-1)个矩形的面积的和IN请输入将［0，3］分成的份数n：”;NWHILEk＜=N-AN-(k*3/n)^2)*3/NSUM=SUM=ANPRINTk,ANWENDEND阅读程序，回答下列问题：(1)程序中的AN，SUM分别表示什么，为什么？(2)请根据程序分别计算当n＝6，11，16时，各个矩形的面积的和(不必在计算机上运行程序).师你能回答第一个问题吗？生AN表示第ｋ个矩形的面积，SUM表示前ｋ个矩形面积的和生当把x轴上的区间［0，3］分成n等份时，各等份的长都是n3理由是：各分点的横坐标分别是n3,n23,…,nn)1(3从各分点作y轴平行线与y=9-x2图象相交，交点的纵坐标分别是2)3(9n,2)23(9n,…,2])1(3[9nn它们分别是各个相应矩形的高，所以各个矩形面积分别是nn3])3(9[2,nn3])23(9[2,…,nnn3)])1(3[(92师对学生的思考给予高度的赞扬师当我们把x轴上的区间［0，3］分成n等份时，按照上面的作图方法，我们得到了函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域内的n-1个矩形师想一想，这个由各个矩形面积组成的数列的前n-1项和如何求生自主探究列式：nnnnnnnSn3])1(3[9...3])23(9[3])3(9[2221=]))1(3(9[...])23(9[])3(9[3222