高中数学人教A版选修11课件222双曲线的简单几何性质课时2

2.3双曲线2.3.2双曲线的简单几何性质（2）本节课主要学习双曲线的定义、直线与双曲线的位置关系、直线与双曲线的弦长.通过回顾双曲线的概念、方程和性质，复习直线与椭圆的位置关系等知识，巩固所学知识，充分调动学生学习的积极性和主动性.双曲线的第二定义作为了解内容，在实际教学中可以根据实际情况酌情处理，在普通班的教学中可以忽略不讲，直接讲例题1；例2研究了直线与双曲线的位置关系；例3讲的是高考的一个热点内容——弦长公式问题。直线与双曲线的弦长公式问题（可以推广到直线与其它圆锥曲线的弦长公式问题）.关于x轴、y轴、原点对称yxOA2B2A1B1..F1F2yB2A1A2B1xO..F2F1)0(1babyax2222bybaxaA1（-a，0），A2（a，0）B1（0，-b），B2（0，b）)10(eaceF1(-c,0)F2(c,0)F1(-c,0)F2(c,0)),b(abyax0012222Ryaxax，或关于x轴、y轴、原点对称A1（-a，0），A2（a，0）)1(eace无xaby图形方程范围对称性顶点离心率渐进线关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率)0(1babyax2222A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）),b(abxay0012222Rxayay，或关于x轴、y轴、原点对称)1(eace渐进线xbay..yB2A1A2B1xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)Ryaxax，或)1(eacexaby1、“共渐近线”的双曲线222222221(0)xyxyabab与共渐近线的双曲线系方程为，为参数，λ0表示焦点在x轴上的双曲线；λ0表示焦点在y轴上的双曲线。2、“共焦点”的双曲线（1）与椭圆有共同焦点的双曲线方程表示为22221(0)xyabab2222221().xybaab（2）与双曲线有共同焦点的双曲线方程表示为22221(0,0)xyabab2222221()xybaabxyOlF引例点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线的距离比是常数(ca0)，求点M的轨迹.2axcacM解：设点M(x,y)到l的距离为d，则||MFcda即222()xcycaaxc化简得(c2－a2)x2－a2y2=a2(c2－a2)设c2－a2=b2，22221xyab(a0,b0)故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.222()||axcyacx22224222(2)2axcxcyaacxcxb2x2－a2y2=a2b2即就可化为:M点M的轨迹也包括双曲线的左支.双曲线的第二定义双曲线的第二定义平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是双曲线。定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.对于双曲线22221xyab是相应于右焦点F(c,0)的右准线.类似于椭圆2axc是相应于左焦点F′(-c,0)的左准线.2axcxyoFlMF′2axcl′2axc点M到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义.想一想：中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的？xyoF相应于上焦点F(c,0)的是上准线2yac2yac相应于下焦点F′(-c,0)的是下准线2yac2yacF′解：dM设是点到直线的距离，根据题意，所求轨迹就是集合l54|MF|PM,d22551645(x)y.|x|由此得22916144xy.86M.所以点的轨迹是实轴、虚轴长分别为,的双曲线例1.点M（x，y）与定点F（5，0）的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点M的轨迹.516:xl45221169xy.即xyl..FOMd.H典例展示将上式两边平方，并化简，得：双曲线中应注意的几个问题：(1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线；(2)双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特有的；(3)双曲线只有两个顶点，离心率e1；(5)注意双曲线中a，b，c，e的等量关系与椭圆中a，b，c，e的不同．(4)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为2，实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直；椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法∆0∆=0∆0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交直线与双曲线的位置关系XYO1)位置关系种类种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)2)位置关系与交点个数XYOXYO相离:0个交点相交:一个交点相交:两个交点相切:一个交点3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐进线平行相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离消去，得2222y=kx+my:xy-=1ab(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。重合：无交点；平行：有一个交点。2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,Δ0直线与双曲线相交（两个交点）Δ=0直线与双曲线相切Δ0直线与双曲线相离②相切一点:△=0③相离:△＜0注:①相交两点:△＞0同侧：＞0异侧:＜0一点:直线与渐进线平行12xx12xx特别注意直线与双曲线的位置关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支例2.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线(1)没有公共点;(2)有两个公共点;(3)只有一个公共点;(4)交于异支两点；(5)与左支交于两点.k=±1，或k=±；52-1＜k＜1；k＜或k＞；525252＜k＜；52125-k1k且1.过点P(1,1)与双曲线只有一个变题:将点P(1,1)改为1.A(3,4)2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的?4116922yx1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.交点的直线共有_______条.XYO（1，1）。F1F2xyO··AB弦长问题分析:求弦长问题有两种方法:法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公式代入求弦长;法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理.22213630xyF,A,BAB.例3如图，过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于两点，求.解：由双曲线的方程得，两焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).因为直线AB的倾斜角是30°，且直线经过右焦点F2，所以，直线AB的方程为333y(x).(1)22333136y(x),xy,由256270yxx.消去，得12935x,x.解这个方程，得1212231235x,xy,y.将的值代入（），得92332355A,B(,),(,).于是，两点的坐标分别为221212AB(xx)(yy)所以，22923323551635()().【提升总结】这里我们也可以利用弦长公式求解:弦长公式：2121xxkAB2212121k(xx)4xx，或2121221AB1(yy)4yy.k算一算，看结果一样吗？解析：因为F1的坐标是(-3,0),所以2212213323239231433555AF()();BF()().111163583AB,AFBABAFBF.又所以的周长是你能求出△AF1B的周长吗？92．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，点F1是另一个焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离心率等于________．121.（2013·陕西高考）双曲线22116xym的离心率为54,则m等于.3．经过点M(26，－26)且与双曲线x24－y23＝1有相同渐近线的双曲线方程是()A.x26－y28＝1B.y28－x26＝1C.y26－x28＝1D.x28－y26＝1C4．求一条渐近线方程是3x＋4y＝0，一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程．所以设双曲线的方程为x216－y29＝λ，由题意知λ0，所以16λ＋9λ＝16，所以λ＝1625.所以所求的双曲线标准方程为x225625－y214425＝1.解析：因为双曲线的一条渐近线方程为3x＋4y＝0，1.位置判定2.弦长公式3.中点问题4.垂直与对称5.设而不求(韦达定理、点差法)课后练习课后习题