高中数学人教版A版必修一配套课件第一章集合与函数的概念132第2课时

第2课时奇偶性的应用第一章1.3.2奇偶性1.掌握用奇偶性求解析式的方法；2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式；3.进一步加深对函数的奇偶性概念的理解.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学新知探究点点落实知识点一用奇偶性求解析式思考函数f(x)在区间[a，b]上的解析式与该区间函数图象上的点(x，y)有什么关系？答案答案满足y＝f(x).一般地，求解析式的任务就是要找到一个含有自变量因变量的等式.如果该等式同时满足两个条件：①定义域符合要求；②图象上任意一点均满足该式.如果知道函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，那么就可以设出关于原点对称区间[－b，－a]上任一点(x，y)，通过关于原点(或y轴)的对称点(－x，－y)(或(－x，y))满足的关系式间接找到(x，y)所满足的解析式.知识点二奇偶性与单调性思考观察偶函数y＝x2与奇函数y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性，你有何猜想？答案答案偶函数y＝x2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反；奇函数y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同.答案一般地，(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是函数，且有最小值.(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是.增－M增函数知识点三奇偶性的推广思考(1)f(－x)＝－f(x)⇔－x＋x2＝0，f－x＋fx2＝0⇔y＝f(x)关于(0,0)对称；那么f(a－x)＝－f(a＋x)⇔a－x＋a＋x2＝a，fa－x＋fa＋x2＝0⇔y＝f(x)关于________对称；答案(a,0)(2)f(－x)＝f(x)⇔－x＋x2＝0，f－x＝fx⇔y＝f(x)关于直线x＝0对称；那么f(a－x)＝f(a＋x)⇔a－x＋a＋x2＝a，fa－x＝fa＋x⇔y＝f(x)关于直线________对称.答案x＝a返回题型探究重点难点个个击破类型一用奇偶性求解析式例1(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)＝－x＋1，求当x0时，f(x)的解析式；解析答案解设x0，则－x0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴当x0时，f(x)＝－x－1.解析答案解∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝1x－1，求函数f(x)，g(x)的解析式.由f(x)＋g(x)＝1x－1.①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝1－x－1，∴f(x)－g(x)＝1－x－1，②(①＋②)÷2，得f(x)＝1x2－1；(①－②)÷2，得g(x)＝xx2－1.反思与感悟解析答案跟踪训练1(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)＝2x，求f(x)的解析式；解设x0，则－x0，∴f(－x)＝2(－x)＝－2x，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x，∴当x0时，f(x)＝2x.又f(－0)＝－f(0)，解得f(0)＝0也适合上式.∴f(x)＝2x，x∈R.解析答案(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x，求函数f(x)，g(x)的解析式.解∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x.①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x，∴f(x)－g(x)＝－2x，②(①＋②)÷2，得f(x)＝0；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.类型二奇偶性对单调性的影响例2设f(x)是偶函数，在区间[a，b]上是减函数，试证f(x)在区间[－b，－a]上是增函数.解析答案证明设x1，x2是区间[－b，－a]上任意两个值，且有x1＜x2.∵－b≤x1＜x2≤－a，∴a≤－x2＜－x1≤b.∵f(x)在[a，b]上是减函数，∴f(－x2)＞f(－x1).∵f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，∴f(－x2)＝f(x2)，f(－x1)＝f(x1).∴f(x2)＞f(x1)，即f(x1)＜f(x2).∴函数f(x)在区间[－b，－a]上是增函数.反思与感悟跟踪训练2已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)＜0.∴－11－x1，－11－2x1，1－x2x－1.解得0＜x＜23.解∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，∴由f(1－x)＋f(1－2x)＜0，得f(1－x)＜－f(1－2x).∴f(1－x)＜f(2x－1).又∵f(x)在(－1,1)上是减函数，∴原不等式的解集为(0，23).解析答案类型三对称问题例3定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x－4)＝－f(x)，且x∈[0,2]时，f(x)＝x，试画出f(x)的图象.解析答案解∵f(x)是奇函数，∴f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，∴f(x)关于直线x＝－2对称.反复利用f(x)关于原点对称又关于直线x＝－2对称，可画出f(x)的图象如图：反思与感悟解析答案跟踪训练3定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x－4)＝－f(x)，且x∈[0,2]时，f(x)＝x.试画出f(x)的图象.解∵f(x)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称.又∵f(x－4)＝－f(x)，∴f(x)关于点C(－2,0)对称.反复利用f(x)关于(－2,0)对称又关于y轴对称，可画出的图象如图：返回123达标检测45答案1.f(x)＝x2＋|x|()A.是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数B.是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数C.不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数D.是偶函数，且在(0，＋∞)是增函数D123452.已知f(x)是奇函数，且x0时，f(x)＝x－1，则x0时f(x)等于()A.x＋1B.x－1C.－x－1D.－x＋1答案A123453.若奇函数f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是()A.单调递减的偶函数B.单调递减的奇函数C.单调递增的偶函数D.单调递增的奇函数答案B123454.定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)f(b)，则一定可得()A.abB.abC.|a||b|D.0≤ab或ab≥0答案C123455.已知对于函数f(x)＝x2＋ax定义域内任意x，有f(1－x)＝f(1＋x)，则实数a等于()A.1B.－1C.2D.－2答案D规律与方法1.函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.这种对称推广，就是一般的中心对称或轴对称.2.(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论.返回3.具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性.(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.