高中数学人教版选修11配套课件第3章导数及其应用331

3.3.1函数的单调性与导数第三章§3.3导数在研究函数中的应用1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)0单调递___f′(x)0单调递___f′(x)＝0常函数增减答案(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性导数单调递___f′(x)≥0单调递___f′(x)≤0常函数f′(x)＝0增减答案思考在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)0的什么条件？答案必要不充分条件.知识点二利用导数求函数的单调区间求可导函数单调区间的基本步骤：(1)确定定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.返回题型探究重点突破解析答案题型一利用导数判断函数的单调性例1证明：函数f(x)＝sinxx在区间π2，π上单调递减.证明f′(x)＝xcosx－sinxx2，又x∈π2，π，则cosx0，∴xcosx－sinx0，∴f′(x)0，∴f(x)在π2，π上是减函数.反思与感悟解析答案跟踪训练1证明：函数f(x)＝lnxx在区间(0，e)上是增函数.证明∵f(x)＝lnxx，∴f′(x)＝x·1x－lnxx2＝1－lnxx2.又0xe，∴lnxlne＝1.∴f′(x)＝1－lnxx20，故f(x)在区间(0，e)上是增函数.解析答案题型二利用导数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；解f′(x)＝6x2＋6x－36.由f′(x)＞0得6x2＋6x－360，解得x－3或x2；由f′(x)＜0解得－3x2.故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3,2).(2)f(x)＝sinx－x(0xπ)；解f′(x)＝cosx－1.因为0xπ，所以cosx－1＜0恒成立，故函数f(x)的单调递减区间为(0，π).解析答案(3)f(x)＝3x2－2lnx；解函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－2x＝2·3x2－1x.令f′(x)0，即2·3x2－1x0，解得－33x0或x33.又∵x0，∴x33.令f′(x)0，即2·3x2－1x0，解得x－33或0x33.又∵x0，∴0x33.∴f(x)的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33).解析答案(4)f(x)＝x3－3tx.解f′(x)＝3x2－3t.令f′(x)＞0，得3x2－3t＞0，即x2＞t，∴当t≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数的增区间是(－∞，＋∞)；当t0时，解x2＞t得x＞t或x＜－t；由f′(x)＜0解得－t＜x＜t.函数f(x)的增区间是(－∞，－t)和(t，＋∞)，减区间是(－t，t).反思与感悟解析答案跟踪训练2求函数f(x)＝x3＋3x的单调区间.解析答案题型三已知函数单调性求参数的取值范围例3已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R).若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围.反思与感悟解析答案跟踪训练3若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数.求实数m的取值范围.解f′(x)＝3x2＋2x＋m.因为f(x)是R上的单调函数，所以f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立.因为二次项系数3＞0，所以只能有f′(x)≥0恒成立.因此Δ＝4－12m≤0，故m≥13.当m＝13时，使f′(x)＝0的点只有一个x＝－13，也符合题意.故实数m的取值范围是13，＋∞.解析答案返回解后反思例4已知a，b为实数，且b＞a＞e，其中e为自然对数的底，求证：ab＞ba.分析观察ab＞ba，两边取对数即有blna＞alnb，从函数角度考虑blna与alnb，解题技巧构造法的应用可构造函数y＝lnxx(x＞0)，根据单调性判断即可.证明当b＞a＞e时，要证ab＞ba，只要证blna＞alnb，即只要证lnaa＞lnbb.构造函数y＝lnxx(x＞0)，则y′＝1－lnxx2.因为当x＞e时，y′＝1－lnxx2＜0，所以函数y＝lnxx在(0，＋∞)内是减函数.又因为b＞a＞e，所以lnaa＞lnbb.故ab＞ba.当堂检测12345解析答案1.函数f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是()A.单调增函数B.单调减函数C.在0，1e上是减函数，在1e，6上是增函数D.在0，1e上是增函数，在1e，6上是减函数解析∵f′(x)＝1＋1x0，∴函数在(0,6)上单调递增.A解析答案123452.f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析由导函数的图象可知，当x0时，f′(x)0，即函数f(x)为增函数；当0x2时，f′(x)0，即f(x)为减函数；当x2时，f′(x)0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确.D123453.若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是()A.[1，＋∞)B.a＝1C.(－∞，1]D.(0,1)解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.解析答案A解析答案123454.函数y＝x2－4x＋a的增区间为_________，减区间为__________.解析y′＝2x－4，令y′0，得x2；令y′0，得x2，所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2).(2，＋∞)(－∞，2)解析答案123455.若函数f(x)＝lnx－12ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________.课堂小结返回1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)0和f′(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.