高中数学人教版选修11配套课件第3章导数及其应用34

§3.4生活中的优化问题举例第三章导数及其应用1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.知识点二利用导数解决生活中优化问题的基本思路优化问题→用函数表示的数学问题优化问题的答案←用导数解决的数学问题知识点三解决优化问题的基本步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值；(4)依据实际问题的意义给出答案.返回题型探究重点突破解析答案题型一用料最省问题例1如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？反思与感悟解析答案跟踪训练1某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的总面积为8m2，问：x，y分别是多少时用料最省？(精确到0.001m)解依题意，有xy＋12·x·x2＝8，∴y＝8－x24x＝8x－x4(0＜x＜42)，于是框架用料长度为l＝2x＋2y＋22x2＝32＋2x＋16x.l′＝32＋2－16x2＝0，解得x1＝8－42，x2＝42－8(舍去).当0＜x＜8－42时，l′＜0；当8－42＜x＜42时，l′＞0，∴当x＝8－42时，l取得最小值.此时，x＝8－42≈2.343m，y≈2.828m.即当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省.解析答案题型二面积、容积的最值问题例2如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？反思与感悟解析答案跟踪训练2如图，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形的最大面积.解设B(x,0)(0＜x＜2)，则A(x,4x－x2).从而|AB|＝4x－x2，|BC|＝2(2－x).故矩形ABCD的面积为S(x)＝|AB|·|BC|＝2x3－12x2＋16x(0＜x＜2).S′(x)＝6x2－24x＋16，令S′(x)＝0，得x1＝2＋233，x2＝2－233.∵x1∉(0,2)，∴x1舍去.∴当x＝2－233时，Smax＝3239.因此，当点B为2－233，0时，矩形的最大面积是3239.解析答案题型三成本最省，利润最大问题例3甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b(b0)；固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；解依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为sv，全程运输成本为y＝a·sv＋bv2·sv＝s(av＋bv)，∴所求函数及其定义域为y＝s(av＋bv)，v∈(0，c]解析答案(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解由题意s、a、b、v均为正数.y′＝s(b－av2)＝0得v＝ab，v∈(0，c].①若ab≤c，则当v＝ab时，全程运输成本y最小；②若abc，则v∈(0，c]，此时y′0，即y在(0，c]上为减函数.所以当v＝c时，y最小.综上可知，为使全程运输成本y最小，当ab≤c时，行驶速度v＝ab；当abc时，行驶速度v＝c.反思与感悟解析答案跟踪训练3某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；解若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件.由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6.若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21].解析答案(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解对(1)中函数求导得f′(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f′(x)－0＋0－f(x)9072↘极小值↗极大值↘∴x＝12时，f(x)取得极大值.∵f(0)＝9072，f(12)＝11664，∴定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大.思想方法分类讨论思想的应用例4某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3m3，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3)千元，设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y出关于r的函数关系式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解析答案返回解后反思当堂检测12345解析答案1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A.8B.203C.－1D.－8解析原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.C解析答案123452.设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为()A.3VB.32VC.34VD.23V解析设底面边长为x，则表面积S＝32x2＋43xV(x0).∴S′＝3x2(x3－4V).令S′＝0，得x＝34V.C123453.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件解析因为y′＝－x2＋81，当x∈(0,9)时，y′＞0.解析答案13所以，函数y＝－13x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增.所以当x＞9时，y′＜0；所以x＝9是函数的极大值点.又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值.C解析答案123454.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r与年产量x的关系是r＝400x－12x2，0≤x≤400，80000，x＞400，则总利润最大时，年产量是()A.100B.150C.200D.300解析答案123455.用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5m，则当高为____m时，容器的容积最大.解析设高xm，则V＝x(x＋0.5)14.84－0.5－2x＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，x∈(0,1.6)，所以V′＝－6x2＋4.4x＋1.6.令V′＝0，解得x＝1或x＝－415(舍去).当0＜x＜1时，V′＞0，当1＜x＜1.6时，V′＜0，所以当x＝1时，容器的容积取得最大值.1课堂小结返回正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.