高中数学人教版选修12同课异构教学课件212演绎推理探究导学课型

2.1.2演绎推理主题一：演绎推理的含义【自主认知】看下面两个推理，回答问题①一切奇数都不能被2整除，(22012+1)是奇数，所以(22012+1)不能被2整除；②两个平面平行其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面.(1)这两个推理中的第一句都说的是什么？提示：都说的是一般原理.(2)这两个推理中第二句、第三句又说的是什么呢？提示：第二句都说的是特殊实例.而第三句说的是由一般原理对特殊实例做出的判断.➡根据以上探究过程，试着写出演绎推理的定义及特点：1.定义：从_______的原理出发，推出某个___________的结论，我们把这种推理称为演绎推理(演绎推理又称_________).2.特点：由_____到_____的推理.一般性特殊情况下逻辑推理一般特殊【合作探究】1.阅读下面的材料，探究下列问题：(1)自然数都是整数，因为3是自然数，所以3是整数.(2)一次函数是单调函数，因为y=2x-1是一次函数，所以y=2x-1是单调函数.以上两个推理是演绎推理吗？推理的结论正确吗？提示：是演绎推理，推理的结论都正确.2.演绎推理有哪些特点？提示：①演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴含于前提之中的个别特殊事实，结论完全蕴含于前提之中；②在演绎推理中，前提和结论存在着必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，那么结论也必然是正确的.【过关小练】1.平行于同一直线的两直线平行，因为a∥b，b∥c，所以a∥c，这个推理称为()A.合情推理B.归纳推理C.类比推理D.演绎推理【解析】选D.因为平行于同一直线的两直线平行，(一般性原理)因为a∥b，b∥c，(特殊情况)所以a∥c，(由一般性得特殊)所以这是一个三段论，属于演绎推理.2.下面几种推理过程是演绎推理的是()A.某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B.由三角形的性质，推测空间四面体的性质C.平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D.在数列{an}中，a1=1，an=由此归纳出{an}的通项公式n1n111(a)2a，【解析】选C.选项A，D是归纳推理；选项B是类比推理；选项C运用了“三段论”，是演绎推理.主题二：演绎推理的一般模式【自主认知】1.“所有金属都导电，因为铁是金属，所以铁导电”，以上推理是演绎推理吗？其推理形式有何特点？提示：是演绎推理，此推理形式可分为三部分：第一句描述的是一般原理，第二句描述的是大前提里的特殊情况，第三句是根据一般原理对特殊情况做出的判断.2.演绎推理的结论是否正确？是如何得出结论的？提示：推理的结论正确，演绎推理的结论是根据一般原理，对特殊情况做出的判断.➡根据以上探究过程，试着完成演绎推理一般模式的相关内容1.演绎推理的一般模式：三段论.(1)大前提——已知的_________.(2)小前提——所研究的_________.(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的_____.一般原理特殊情况判断2.“三段论”的常用格式：(1)大前提：M是P.(2)小前提：S是__.(3)结论：S是P.3.从集合的角度看演绎推理：(1)大前提：x∈M且x具有性质P.(2)小前提：y∈S且S⊆M.(3)结论：y具有性质__.MP【合作探究】1.如何分清“三段论”的大前提、小前提和结论？提示：在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况做出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义.例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有的一般意义.2.合情推理和演绎推理有怎样的关系？提示：(1)联系：两个推理是相辅相成的，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路的发生，主要靠合情推理.(2)区别：合情推理的前提为真时，结论不一定为真；而演绎推理的前提为真时，结论必定为真.【拓展延伸】“三段论”的论断基础(1)三段论法的论断基础是这样一个公理：凡肯定(或否定)了某一类对象的全部，也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体.简言之，全体概括个体.M，P，S三个概念之间的包含关系表现为：如果概念P包含了概念M，则必包含了M中的任一概念S(如图①)；如果概念P排斥概念M，则必排斥M中的任一概念S(如图②).(2)只有弄清以上道理，才会使我们在今后的演绎推理中不犯(或少犯)错误.在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定也是正确的.如果大前提是错误的，所得的结论也是错误的.【过关小练】1.已知△ABC中，A=30°，B=60°，求证：ab.证明：_____________________________所以ab.其中，划线部分是演绎推理的()A.大前提B.小前提C.结论D.三段论【解析】选B.由三段论的组成可得划线部分为三段论的小前提.因为A=30°，B=60°，所以AB.2.三段论：“①平面内没有任何公共点的直线为平行线；②直线a⊂α，b⊂α且a与b没有公共点；③a∥b”中的“小前提”是.【解析】由三段论的格式可知①是大前提，③是结论，故②是小前提.答案：②【归纳总结】1.对演绎推理的两点说明(1)演绎推理具有证明结论、整理和构建知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法.(2)演绎推理是由一般到特殊的推理.2.对“三段论”的两点说明(1)三段论中的大前提提供了一个一般性原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般性原理与特殊情况的内在联系，从而得到了第三个命题——结论.(2)若集合M的所有元素都具有性质P，S是M中的一个子集，那么S中的元素也具有性质P；若M中的元素都不具有性质P，那S中的元素也不具有性质P.类型一：把演绎推理写成三段论的形式【典例1】将下列推理写成“三段论”的形式：(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向.(2)是有理数.(3)y=sinx(x∈R)是周期函数.0.332【解题指南】首先分析出每个推理的大前提、小前提及结论，再写成三段论的形式.【解析】(1)大前提：向量是既有大小又有方向的量.小前提：零向量是向量.结论：零向量也有大小和方向.(2)大前提：所有的循环小数都是有理数.小前提：是循环小数.结论：是有理数.(3)大前提：三角函数是周期函数.小前提：y=sinx(x∈R)是三角函数.结论：y=sinx(x∈R)是周期函数.0.3320.332【规律总结】用三段论写推理过程的技巧(1)关键：用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般原理与特殊情况的内在联系.(2)何时省略：有时可省略小前提，有时甚至也可将大前提、小前提都省略.(3)如何寻找：在寻找大前提时可找一个使结论成立的充分条件作大前提.【巩固训练】(2015·洛阳高二检测)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D.大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数【解析】选B.对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式.【拓展延伸】判断演绎推理是否正确要四看(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理，这是最易出错的地方.(2)看大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件.(3)看小前提是否正确，注意小前提必须在大前提范围之内.(4)看推理过程是否正确，即看由大前提，小前提得到的结论是否正确.【补偿训练】指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1)整数是自然数，…大前提-3是整数，…小前提-3是自然数.…结论(2)常数函数的导函数为0，…大前提函数f(x)的导函数为0，…小前提f(x)为常数函数.…结论(3)无理数是无限不循环小数，…大前提(0.33333…)是无限不循环小数，…小前提是无理数，…结论1313【解析】(1)结论是错误的，原因是大前提错误.自然数是非负整数.(2)结论是错误的，原因是推理形式错误.大前提指出的一般原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”.(3)结论是错误的，原因是小前提错误.(0.33333…)是循环小数而不是无限不循环小数.13类型二：演绎推理在几何中的应用【典例2】证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角.【解题指南】先将文字语言转化为几何语言，利用平行线的性质去寻求角的关系.【证明】已知在梯形ABCD中(如图所示)，AB=DC=AD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.证明：①因为等腰三角形的两底角相等，…大前提△DAC是等腰三角形，DC=DA，…小前提所以∠1=∠2.…结论②因为两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，…大前提∠1和∠3是平行线AD，BC被AC所截得的内错角，…小前提所以∠1=∠3.…结论③因为等于同一个量的两个量相等，…大前提∠2=∠1，∠3=∠1，…小前提所以∠2和∠3相等.…结论即CA平分∠BCD.④同理BD平分∠CBA.【规律总结】几何证明中演绎推理应用的两个关注点(1)大前提的正确性：几何证明往往采用演绎推理，它往往不是经过一次推理就能完成的，常需要几次使用演绎推理，每一个推理都暗含着大、小前提，前一个推理的结论往往是下一个推理的前提，在使用时不仅要推理的形式正确，还要前提正确，才能得到正确的结论.(2)大前提可省略：在几何证明问题中，每一步都包含着一般原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般原理应用于特殊情况，就能得出相应结论.提醒：在应用“三段论”进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式之一错误，都可能导致结论错误.【巩固训练】如图，△ABC中，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA.求证ED=AF，写出“三段论”形式的演绎推理.【证明】因为同位角相等，两直线平行，…大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD=∠A，…小前提所以FD∥AE.…结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，…大前提DE∥BA，且FD∥AE，…小前提所以四边形AFDE为平行四边形.…结论因为平行四边形的对边相等，…大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，…小前提所以ED=AF.…结论【补偿训练】如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a，D，E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点G.(1)求证：A1B⊥AD.(2)求证：EC∥平面AB1D.【证明】(1)连接A1D，DG，BD.因为三棱柱ABC-A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，所以四边形A1ABB1为正方形.所以A1B⊥AB1.因为点D是C1C的中点，所以△A1C1D≌△BCD.所以A1D=BD.因为点G为A1B与AB1的交点，所以G为A1B的中点.所以A1B⊥DG.又因为DG∩AB1=G，所以A1B⊥平面AB1D.又因为AD⊂平面AB1D，所以A1B⊥AD.(2)连接GE，所以EG∥A1A，所以GE⊥平面ABC.因为DC⊥平面ABC，所以GE∥DC.又因为GE=DC=a，所以四边形GECD为平行四边形.所以EC∥GD.又因为EC⊄平面AB1D，DG⊂平面AB1D，所以EC∥平面AB1D.12类型三：演绎推理在代数问题中的应用【典例3】(1)(2015·