高中数学教案选修22112瞬时变化率导数1

教学目标：1．理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念；2．理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法；3．理解切线概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力和培养学生转化问题的能力及数形结合思想．教学重点：理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法．教学难点：用“无限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一点处切线的斜率．教学过程：一、问题情境1．问题情境．如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？如果将点P附近的曲线放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去有点像是直线．如果将点P附近的曲线再放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去几乎成了直线．事实上，如果继续放大，那么曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l，该直线l是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线．因此，在点P附近我们可以用这条直线l来代替曲线，也就是说，点P附近，曲线可以看出直线（即在很小的范围内以直代曲）．2．探究活动．如图所示，直线l1，l2为经过曲线上一点P的两条直线，（1）试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线；（2）在点P附近能作出一条比l1，l2更加逼近曲线的直线l3吗？（3）在点P附近能作出一条比l1，l2，l3更加逼近曲线的直线吗？二、建构数学切线定义:如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线．随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近逼近曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线．这种方法叫割线逼近切线．思考：如上图，P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？三、数学运用例1试求2()fxx＝在点(2，4)处的切线斜率．解法一分析：设P(2，4)，Q(xQ，f(xQ))，则割线PQ的斜率为：2()44222QQPQQQQfxxkxxx－－＝＝＝＋－－当Q沿曲线逼近点P时，割线PQ逼近点P处的切线，从而割线斜率逼近切线斜率；当Q点横坐标无限趋近于P点横坐标时，即xQ无限趋近于2时，kPQ无限趋近于常数4．从而曲线f(x)＝x2在点(2，4)处的切线斜率为4．解法二设P(2，4)，Q(xQ，xQ2)，则割线PQ的斜率为：22(2)444PQxkxxxxx＋－＝＋＝＝＋当∆x无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数4，从而曲线f(x)＝x2，在点(2，4)处的切线斜率为4．练习试求2()1fxx＝＋在x＝1处的切线斜率．解：设P(1，2)，Q(1＋Δx，(1＋Δx)2＋1)，则割线PQ的斜率为：22[(1)1]222PQxkxxxxx＋＋－＝＋＝＝＋当∆x无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数2，从而曲线f(x)＝x2＋1在x＝1处的切线斜率为2．小结求曲线()yfx＝上一点处的切线斜率的一般步骤：（1）找到定点P的坐标，设出动点Q的坐标；（2）求出割线PQ的斜率；（3）当x时，割线逼近切线，那么割线斜率逼近切线斜率．思考如上图，P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？解设0000(())(())PxfxQxxfxx，，＋，＋000000()()()()()PQfxxfxfxxfxkxxxx＋－＋－∴＝＝＋－所以，当x无限趋近于0时，00()()fxxfxx－－无限趋近于点00(())Pxfx，处的切线的斜率．变式训练1．已知2()fxx＝，求曲线()yfx＝在1x＝－处的切线斜率和切线方程；2．已知1()fxx－＝，求曲线()yfx＝在1x＝－处的切线斜率和切线方程；3．已知2()1fxx＝－，求曲线()yfx＝在12x＝处的切线斜率和切线方程．课堂练习已知()fxx＝，求曲线()yfx＝在12x＝处的切线斜率和切线方程．四、回顾小结1．曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映（局部以直代曲）．2．根据定义，利用割线逼近切线的方法,可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程．五、课外作业