高二数学人教A版选修21课件113四种命题与四种命题间的相互关系共54张PPT

第一章常用逻辑用语1．1.2四种命题1．1.3四种命题间的相互关系1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题．2．会分析四种命题间的相互关系.目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩新知视界1．四种命题(1)一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”．(2)对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好为另一个命题的条件的否定和结论的否定，把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的否命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若綈p，则綈q”．(3)对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，则另一个命题叫做原命题的逆否命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题是“若綈q，则綈p”．思考感悟在四种命题中，原命题是固定的吗？提示：不是．原命题是人为指定的，是相对于其他三种命题而言的，可以把任何一个命题看作原命题，进而研究它的其他形式．2．(1)四种命题间的相互关系(2)一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假思考感悟四种命题中真命题的个数可能为多少？提示：由于互为逆否关系的命题同真同假，真命题可能有0个，2个或4个．尝试应用1．若xy，则x2y2的否命题是()A．若x≤y，则x2y2B．若xy，则x2y2C．若x≤y，则x2≤y2D．若xy，则x2y2答案：C2．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．无关命题答案：A3．命题“若ab＝0，则a＝0”与命题“若a＝0，则ab＝0”是________命题．解析：两个命题的条件和结论交换了，满足互逆命题的概念．答案：互逆4．命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”的等价命题是________．答案：若sinα≠sinβ，则α≠β5．把命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．解：原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0，真命题．逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，假命题．否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，假命题．逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2，真命题．典例精析类型一四种命题之间的转换[例1]写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)垂直于同一平面的两直线平行．(2)若m·n0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．[分析]由题目可以获取以下主要信息：①第一个命题的条件是垂直于同一平面的两条直线，结论是两直线平行；②第二个命题的条件和结论非常清楚．解答本题时可先分清命题的条件和结论，写成“若p，则q”形式，再写出逆命题、否命题和逆否命题．[解](1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面．否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行．逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面．(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n0.否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0.[点评](1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)另外在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论．迁移体验1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)直角等于90°.(2)若m≤0，n≤0，则m＋n≤0.解：(1)原命题：若一个角是直角，则它等于90°.逆命题：若一个角等于90°，则它是直角．否命题：若一个角不是直角，则它不等于90°.逆否命题：若一个角不等于90°，则它不是直角．(2)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0且n≤0.否命题：若m0或n0，则m＋n0.逆否命题：若m＋n0，则m0或n0.类型二四种命题真假判断[例2]写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假：(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．[分析]分清条件和结论．利用相关知识点判断真假．[解](1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．[点评]分清条件和结论，即可容易的写出各种命题．判断一个命题为假，只需举出一个反例，充分发挥原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价性，可大大简化判断过程．迁移体验2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．并判断其真假：(1)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(2)若a、b都是奇数，则ab必是奇数．解：(1)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或x＝7；(真)否命题：若x≠3且x≠7，则(x－3)(x－7)≠0；(真)逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0，则x≠3且x≠7.(真)(2)逆命题：若ab是奇数，则a、b都是奇数；(真)否命题：若a、b不都是奇数，则ab不是奇数；(真)逆否命题：若ab不是奇数，则a、b不都是奇数．(真)类型三四种命题的相互关系[例3]若命题p的否命题是q，命题q的逆命题是r，则r是p的逆命题的()A．原命题B．逆命题C．否命题D．逆否命题[分析]由题目可获取以下主要信息：①p与q互为否命题；②q与r互为逆命题．解答本题可利用四种命题之间的关系来寻找．[解析]设命题p为“若k，则s”；则其否命题q是“若綈k，则綈s”；则命题q的逆命题r是“若綈s，则綈k”，而p的逆命题为“若s，则k”，故r是p的逆命题的否命题．[答案]C[点评](1)四种命题的结构分别为：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若綈p，则綈q；逆否命题：若綈q，则綈p.(2)在四种命题中，原命题和逆命题，否命题和逆否命题互为逆命题；原命题和否命题，逆命题和逆否命题互为否命题；原命题和逆否命题，否命题和逆命题互为逆否命题．(3)解决此类问题应正确区分好四种命题之间的关系．迁移体验3(1)与命题“若m∈M，则n∉M”等价的命题是()A．若m∈M，则n∉MB．若n∉M，则m∈MC．若m∉M，则n∈MD．若n∈M，则m∉M(2)给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题的个数是()A．0B．2C．3D．4解析：(1)原命题与逆否命题等价．(2)因为原命题为真，逆命题为假．答案：(1)D(2)B类型四等价命题的应用[例4]判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[分析]由题目可以获取以下主要信息：①所给命题涉及到一元二次不等式的解集；②判断逆否命题的真假．解答本题可先根据已知的命题利用判别式求出a的范围，再去判断命题的真假．[解]方法1：原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a1，所以4a－70.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真．方法2：先判断原命题的真假．因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空．所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥74.因为a≥74，所以a≥1，所以原命题为真．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．方法3：利用集合的包含关系求解．命题p：关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有非空解集．命题q：a≥1.所以p：A＝{a|关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有实数解}＝{a|(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0}＝{a|a≥74}．q：B＝{a|a≥1}．因为A⊆B，所以“若p，则q”为真．所以“若p，则q”的逆否命题“若綈q，则綈p”为真．即原命题的逆否命题为真．[点评]命题的问题可以和其他很多知识相结合，例如本题就是一道有关集合，不等式的解集，二次函数的图象，四种命题的关系的综合题，要求对这几方面的内容非常熟练，且要有一定的分析推理能力，通过一题多解，培养发展创新的能力．迁移体验4判断命题“若m0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解：∵m0，∴12m0，∴12m＋40.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋40.∴原命题“若m0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．思悟升华1．正确写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题(1)一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定，因此，若原命题为：若p，则q，则其逆命题为：若q，则p；否命题为：若綈p，则綈q；逆否命题为：若綈q，则綈p.为便于书写各种命题，当原命题不是“若p，则q”的形式时，应先将命题写成规范形式“若p，则q”，然后再进行书写其他三种命题．(2)在将一个命题改写为“若p，则q”的形式时，写法不是惟一的．如：命题“负数的平方是正数”可写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”，其对应的逆命题、否命题、逆否命题分别为：逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．也可写成“若一个数是负数的平方，则这个数是正数”，则其对应的逆命题、否命题、逆否命题相应变为：逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平方；否命题：若一个数不是负数的平方，则这个数不是正数；逆否命题：若一个数不是正数，则它不是负数的平方．2．四种命题的相互关系(1)一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由于逆命题与否命题也是互为逆否命题，因此这四种命题的真假性之间的关系如下：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．(2)由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．