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第2课时抛物线方程及性质的应用方程图形范围对称性顶点离心率y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称(0,0)e=11.了解抛物线的几何性质,并会应用于实际问题之中;(重点)2.会利用抛物线的定义、标准方程、几何性质及图形四者之间的内在联系,分析和解决实际问题.(重点、难点)探究点1抛物线几何性质的基本应用【例1】过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.分析:我们用坐标法证明,即通过建立抛物线及直线的方程,借助方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系.BOlDxyFA建立如图所示的直角坐标系,只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.证明:如图,以抛物线的对称轴为x轴,它的顶点为原点,建立直角坐标系.设抛物线的方程为22ypx,(1)2002yA(,y),OAp点的坐标为则直线的方程为0020pyx(y),(2)y抛物线的准线方程是2px.(3)联立(2)(3),可得点D的纵坐标为20py.(4)y02pF(,),AF因为点的坐标为所以直线的方程为022022022pypy(x),(5)ypyp.其中所以,直线DB平行于抛物线的对称轴.20py.(6)y由(4)(6)可知,DB∥x轴.220yp.当时,结论显然成立联立(1)(5),可得点B的纵坐标为【例2】正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上,求这个正三角形的边长.分析:如图,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线上,且它们的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则=2px1,=2px2,21y22y又|OA|=|OB|,所以x21+y21=x22+y22,即x21-x22+2px1-2px2=0,所以(x1-x2)(x1+x2+2p)=0,因为x10,x20,2p0,所以x1=x2,由此可得|y1|=|y2|,即线段AB关于x轴对称.由于AB垂直于x轴,且∠AOx=30°,所以y1x1=tan30°=33,而y21=2px1,所以y1=23p,于是|AB|=2y1=43p.本题利用了抛物线与正三角形有公共对称轴这一性质,但往往会直观上承认而忽略了它的证明.【提升总结】故这个正三角形的边长为43p.xyO3.相交(一个交点,两个交点).探究点2直线与抛物线的位置关系问题1:直线与抛物线有怎样的位置关系?1.相离;2.相切;与双曲线的情况一致把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行(重合)相交(一个交点)计算判别式0=00相交相切相离问题2:如何判断直线与抛物线的位置关系?【例3】已知抛物线的方程为24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?y2=4x分析:用解析法解决这个问题,只要讨论直线l的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况,由方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系.12,ykx.l由题意设直线的方程为解:244210kyyk可得①101k,y.当时由方程得①2124ykx,yx,由方程组21144yyx,x.把代入得114,(,).l这时直线与抛物线只有一个公共点2201621k,kk.当时方程的判别式为①211021012,kk,k,k.由即解得或112,k,k,,.,.l于是当或时方程只有一个解从而方程组只有一个解这时直线与抛物线只有一个公共点①212021012,kk,k.由即解得1102,kk,,.,.l于是当,且时方程有两个解从而方程组有两个解这时直线与抛物线有两个公共点①213021012,kk,k,k.由即解得或112,k,k,,..,l于是当或时方程没有实数解从而方程组没有解这时直线与抛物线没有公共点①112k,k,,.l当或时直线与抛物线没有公共点,综上我们可得1102k,k,k.l当或或时,直线与抛物线只有一个公共点1102kk,.l当,且时直线与抛物线有两个公共点过点(0,1)M且和抛物线C:24yx仅有一个公共点的直线的方程是__________________________.101yxyx或或【变式练习】k1.顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线,过点(-1,2),则它的方程是()A.y=2x2或y2=-4xB.y2=-4x或x2=2yC.x2=-yD.y2=-4x21A3.(2013·北京高考)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于()A.43B.2C.83D.6232.过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为()A.8B.16C.32D.61BC4.抛物线y2=4x上有两个定点A,B分别在对称轴的上下两侧,F为抛物线的焦点,并且|FA|=2,|FB|=5,在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求这个最大面积.解析:由已知得F(1,0),不妨设点A在x轴上方且坐标为(x1,y1),由|FA|=2,得x1+1=2,x1=1,所以A(1,2),同理B(4,-4),所以直线AB的方程为2x+y-4=0.设在抛物线AOB这段曲线上任一点P(x0,y0),且0≤x0≤4,-4≤y0≤2.则点P到直线AB的距离d=|2x0+y0-4|1+4=|2×y204+y0-4|5=|12(y0+1)2-92|5,所以y0=-1时,d取最大值9510,又|AB|=35,S=12×35×9510=274,此时P点坐标为(14,-1).所以△PAB的面积最大值为直线与抛物线的位置关系⑴直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离.相交:直线与抛物线交于两个不同点,或直线与抛物线的对称轴平行(重合);相切:直线与抛物线有且只有一个公共点,且直线与抛物线的对称轴不平行(重合);相离:直线与抛物线无公共点.⑵直线与抛物线的位置关系的判断.把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行(重合)相交(一个交点)计算判别式0=00相交相切相离坚持把简单的事情做好就是不简单,坚持把平凡的事情做好就是不平凡。所谓成功,就是在平凡中做出不平凡的坚持.
本文标题:高二数学人教A版选修21课件242抛物线的简单几何性质第2课时抛物线方程及性质的应用
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