高二数学人教A版选修21课件313空间向量的数量积运算

3.1.3空间向量的数量积运算sFW=|F||s|cos根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度的问题.1．了解空间向量夹角的概念及表示方法.2．掌握空间向量数量积的计算方法及应用.（重点）3．能将立体几何问题转化为向量运算问题．（难点）OABaabb⑴范围:0,.≤≤ab⑶如果,2ab,那么向量a,b互相垂直,记作ab.⑵,,.abba＝注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②规定:零向量与任意向量的数量积都等于零.探究点2两个向量的数量积已知两个非零向量,ab,则cos,abab叫做,ab的数量积,记作ab.即cos,ababab.abA1B1BA类比平面向量,你能说出ab的几何意义吗?如图11AB是b在a方向上的射影向量.探究点3空间两个向量的数量积的性质显然,对于非零向量,ab,有下列性质:①0;abab②2aaa，也就是说2aa.注：性质①是证明两向量垂直的依据；性质②是求向量的长度（模）的依据.探究点4空间向量的数量积满足的运算律⑴()()abab.⑵abba(交换律).⑶()abcabac(分配律).注：向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立.例1在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.已知:如图,,POPA分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lOA.求证：lPA.POAl分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！O线证证为 在直l上取向量a,只要a×PA=0因a×PO=0,a×OA=0所以a×PA=a×(PO+OA)=a×PO+a×OA=明0所以a⊥PA,即：l⊥PA.POAla逆命题成立吗?在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.,, ,,:2.线内两条线证已知直是平面的相交直果例如求mnlmlnllmngngml取已知平面内的任一条直线g,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?lmngngml 内线在α作任一直g,分在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g.因m与n相交,故向量m,n不平行,由向量共面的充要件知,存在惟一的有序(x,y),使g=xm+yn,上式与向量l作量，得l×g=xl×m+yl×n.因l×m=0,l×n=明0,所以l×g=0,即l⊥g.所以l⊥g,即l垂直于平面α任一直.所以l.:⊥α别为条实数对将两边数积内线证为1.空间四边形OABC中，OBOC，3AOBAOC，则cos,OABC的值是（）A新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆12B新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆22C新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆12D新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆0DD1222,,2,2_____.则夹为ababab4.已知与的角大小1355.（2013·泰安高二检测）已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a＝()A．12B．8＋13C．4D．13D6．如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC夹角的余弦值．解：∵BC→＝AC→－AB→，∴OA→·BC→＝OA→·AC→－OA→·AB→＝|OA→||AC→|cos〈OA→，AC→〉－|OA→||AB→|cos〈OA→，AB→〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－162.所以cos〈OA→，BC→〉＝OA→·BC→|OA→||BC→|＝24－1628×5＝3－225,所以OA与BC夹角的余弦值为3－225.通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：1.证明两直线垂直.2.求两点之间的距离或线段长度.3.证明线面垂直.4.求两直线所成角的余弦值等.为了不让生活留下遗憾和后悔，我们应该尽可能抓住一切改变生活的机会.