高二数学人教版选修45教案第08课时不等式的证明方法之比较法

课题：第08课时不等式的证明方法之一：比较法目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：0baba0baba0baba二、典型例题：例1、设ba，求证：)(2322babba。例2、若实数1x，求证：.)1()1(32242xxxx证明：采用差值比较法：2242)1()1(3xxxx=3242422221333xxxxxxx=)1(234xxx=)1()1(222xxx=].43)21[()1(222xx,043)21(,0)1(,122xxx且从而∴,0]43)21[()1(222xx∴.)1()1(32242xxxx讨论：若题设中去掉1x这一限制条件，要求证的结论如何变换？例3、已知,,Rba求证.abbababa本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于ba,对称，不妨设.0ba0)(0bababbabbabababababa，从而原不等式得证。2）商值比较法：设,0ba,0,1baba.1)(baabbabababa故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果nm，问甲、乙两人谁先到达指定地点。分析：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为21,tt。要回答题目中的问题，只要比较21,tt的大小就可以了。解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为21,tt，根据题意有Sntmt2211，222tnSmS，可得nmSt21，mnnmSt2)(2，从而mnnmSnmStt2)(221mnnmnmmnS)(2])(4[2mnnmnmS)(2)(2，其中nmS,,都是正数，且nm。于是021tt，即21tt。从而知甲比乙首先到达指定地点。讨论：如果nm，甲、乙两人谁先到达指定地点？例5、设.1,0,12)(2qppqxxf求证；对任意实数ba,，恒有).()()(qbpafbqfapf（1）证明考虑（1）式两边的差。).()()(qbpafbqfapf＝]1)(2[)12()12(222qbpabqap＝.14)1(2)1(222qppqabbqqapp（2）,0,1pqqppqabpqbpqa422)2(22.0)(22bapq即（1）成立。三、小结：四、练习：五、作业：1．比较下面各题中两个代数式值的大小：（1）2x与12xx；（2）12xx与2)1(x.2．已知.1a求证：（1）;122aa（2）.1122aa3．若0cba，求证.)(3cbacbaabccba4．比较a4-b4与4a3(a-b)的大小．解：a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a3+2ab+b2)=-(a-b)20323322bba(当且仅当d＝b时取等号)∴a4-b44a3(a-b)。5．比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小．6．已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小．7．如果x0，比较21x与21x的大小．8．已知a≠0，比较121222aaaa与1122aaaa的大小．9．设x1，比较x3与x2-x+1的大小．说明：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。阅读材料：琴生不等式例5中的不等式)()()(qbpafbqfapf有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸函数有着密切的关系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。琴生在1905年给出了一个定义：设函数)(xf的定义域为[a,b]，如果对于[a,b]内任意两数21,xx，都有当且仅当nxxx21时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。更为一般的情况是：设)(xf是定义在区间[a,b]上的函数，如果对于[a,b]上的任意两点21,xx，有),()()(2121qxpxfxqfxpf其中1,,qpRqp，则称)(xf是区间[a,b]上的凸函数。如果不等式反向，即有),()()(2121qxpxfxqfxpf则称)(xf是[a,b]上的凹函数。其推广形式，设1,,,,2121nnqqqRqqq，)(xf是[a,b]上的凸函数，则对任意],,[,,,21baxxxn有)()()()(22112211nnnnxfqxfqxfqxqxqxqf，当且仅当nxxx21时等号成立。若)(xf是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。