高二数学课件上教版三垂线定理高二数学课件

第八章直线和平面三垂线定理这是偶然的巧合，还是必然？AaOPPO⊥a？AaOP已知PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a，a⊥AO。求证：a⊥PO平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直三垂线定理AaOP证明：a⊥POPA⊥aAO⊥aa⊥平面PAOPO平面PAOPA⊥a三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直。AaOP证明：a⊥POPA⊥aAO⊥aa⊥平面PAOPO平面PAOPA⊥aPCBAO例1已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC,AC⊥BC，求证：PC⊥BC证明：∵P是平面ABC外一点PA⊥平面ABC∴PC是平面ABC的斜线∴AC是PC在平面ABC上的射影∵BC平面ABC且AC⊥BC∴由三垂线定理得PC⊥BCM例2直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：PO⊥BD，PC⊥BD(3)在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD(1)PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD证明:∵ABCD为正方形O为BD的中点∴AO⊥BD又AO是PO在ABCD上的射影PO⊥BD同理，AC⊥BDAO是PO在ABCD上的射影PC⊥BDPMCAB(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AMBC⊥AM证明:∵PB=PCM是BC的中点PM⊥BC∵PA⊥平面PBC∴PM是AM在平面PBC上的射影(3)在正方体AC1中，求证：A1C⊥BC1，A1C⊥B1D1∵在正方体AC1中A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影CBA1B1C1ADD1证明：CBA1B1C1ADD1同理可证，A1C⊥B1D1由三垂线定理知A1C⊥BC1PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件解题回顾，怎么找？三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件解题回顾PAOaαPAOaαbcde三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：①相交直线②异面直线使用三垂线定理还应注意些什么？解题回顾直线a在一定要在平面内，如果a不在平面内，定理就不一定成立。PAOaα例如：当b⊥时，b⊥OA注意：如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b但b不垂直于OP解题回顾√×⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）⑶若a是平面α的斜线，直线bα且b垂直于a在另一平面β内的射影则a⊥b（）⑵若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b（）练习：判断下列命题的真假：面ABCD→面α直线A1C→斜线a直线B1B→垂线b××ADCBA1D1C1B1面ABCD→面α面B1BCC1→面β直线A1C→斜线a直线AB→垂线b面ABCD→面α直线A1C→斜线a直线B1B→垂线bPAOaα三垂线定理包含几种垂直关系？②线射垂直PAOaα①线面垂直③线斜垂直PAOaα直线和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直线射垂直线斜垂直PAOaαPAOaα平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理？平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线在平面内的射影垂直。PAOaα已知：PA，PO分别是平面的垂线和斜线，AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO求证：a⊥AO三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理:平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线在平面内的射影垂直。三垂线定理:平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直线射垂直线斜垂直定理逆定理线射垂直线斜垂直定理逆定理例3在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD求证：AD⊥BC∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.证明：作AO⊥平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCB∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，同理CO⊥BD，于是O是△BCD的垂心，1.在正方体AC1中，E、G分别是AA1和CC1的中点，F在AB上，且C1E⊥EF，EF与GD所成的角的大小为（）(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°DFADCBA1D1B1C1GEMEB1是EC1在平面AB1内的射影EB1⊥EFDG∥AM∥EB1EF⊥DG练习与作业2.已知PA、PB、PC两两垂直，求证：P在平面ABC内的射影是△ABC的垂心。CBPAH3.在ABCD—A1B1C1D1中，求证：AC1⊥平面BC1DD1DCBAC1B1A1