高二数学课件不等式的证明复习课高二数学课件

不等式的证明复习比较法综合法分析法反证法换元法放缩法构造函数法判别式法比较法1.作差法:法则:2.作商法:法则:若则,abR1aabb1aabb1aabb000abababababab判断差的正负号判断商与1的大小关系,前提是两数都是正数例1.设求证:0.ab2222abababab例2.已知且求证:,abR()()0abmnmnnmabab注:1.证明幂、指数不等式常用作商法证明对数不等式常用作差法2.在“差”或“商”中含有字母时一般要对字母的取值进行分类讨论.综合法它是指从已证不等式和已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理经过逐步的逻辑推理,最后达到证明的方法.即由因导果作为公式的不等式常见的有:2(1),0aRa则22ababab+（）a,bR，则，等号成立的条件是222ababab（3）a,bR，则，等号成立的条件是42,()baab+（）a,bR222(5)22abab2223(6)()3abcabc+a,b,cR1.,,:3abcbcacababcabc例设为不全相等的正数试证分析法它是从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判断那些条件是否具备.用分析法证明“若A成立,则B成立的模式是:欲证命题B为真,只需证B1为真,从而又只需证B2为真,从而又…….只需证A为真,今已知A为真,故B必为真.221.,,2,:abRcabccabaccab例且试证.3,:123aaaaa例2已知试证反证法从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾，从而肯定命题成立。反证法适用于“至少型”或者“至多型”用反证法证明时要注意对结论的反面要一一否定。证明步骤(1)反设（2）归谬（3）下结论1.:(2),(2),(2)xyyzzx例若0x,y,z2,求证不可能都大于1换元法（代换法）（1）三角代换法根据具体问题，实施的代换方法有：1.222若a+b=r,可设a=rsin,b=rcos2.(01)r22若a+b1,可设a=rsin,b=rcos3.2对于1-x,可设x=sin或x=cos24.对于1+x,可设x=tan5.若x+y+z=xyz,由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可设x=tanA,y=tanB,z=tanC,(A+B+C=)1.2222例已知a,b,x,yR,且a+b=1,x+y=1,求证:ax+by1（2）增量代换法在对称式（任意互换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序（如abc0等），常用增量法进行代换，代换的目的是通过代换达到减元的目的，使问题化难为易，化繁为简。221.2522b例已知a,bR,且a+b=1,求证:a+2放缩法利用放缩法证明不等式，通过增项，减项或者在分式中的各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的。常用的放缩方法有：(1)重要不等式和均值不等式(2)0,0amabambmb2*(3)(1)(1),kkkkkkN(4)21,21nnnnnn,1312b例1.a,b是实数且a+b=1,1求证:a+122*11111....212(2,)nnnnnN3例2.求证2构造函数法224.sin5sinxx例求证判别式法22.24324xxxx例求证对于任意实数x,1都有3