高二数学课件数学归纳法高二数学课件

对于一些与无限多个正整数相关的命题,如果不易用以前学习过的方法证明,用数学归纳法可能会收到较好的效果.),1(1x)(1)5,(2n)(sinsinn:n2NnxnxnNnNnnn例如什么是数学归纳法?一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当n=n0时命题成立;(2)假设当n=k时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.),(0nkNk且用数学归纳法证明时,要分两个步骤,两者缺一不可.(1)证明了第一步,就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能说明结论的正确性.在这一步中,只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了,没有必要验证命题对几个正整数成立.(2)证明了第二步,就获得了推理的依据.仅有第二步而没有第一步,则失去了递推的基础;而只有第一步而没有第二步,就可能得出不正确的结论,因为单靠第一步,我们无法递推下去,所以我们无法判断命题对n0+1,n0+2,…,是否正确.在第二步中,n=k命题成立,可以作为条件加以运用,而n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件,公理,定理,定义加以证明.完成一,二步后,最后对命题做一个总的结论._______97531______;7531______531_____;31.,)12()1(531,并加以证明的结果猜想出通过计算下面的式子nn,5,4,3,2:别是上面四个式子的结果分解nnnn)1()12()1(531:由此猜想:下面用数学归纳法证明.,1,1)1(即这时等式成立式子左右两边都等于时当n时当即时等式成立假设当1)1()12()1(531,)1()2(knkkkknkk一.用数学归纳法证明等式问题.6)(5n:13整除能够被证明例Nnn.,665,1)1(:3命题成立整除显然能够被时当证明nnn,1.65,,)1()2(3时当整除能够被即命题成立时假设当knkkkkn6)1(3)5(k55133)1(5)1(3233kkkkkkkkk.6)(5,,)2(),1(.1,,6)1(5)1(,6)1(3,)1(,65333整除能够被即命题对一切正整数成立知由时命题成立当因此整除能够被从而整除能够被故是偶数而整除能够被由假设知Nnnnknkkkkkkkk特别提示:数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件.课堂练习:322121.aaC.1aB.1A.1)(,1)1(1:.1aaaDnaaaan左端计算所得的项为时在验证用数学归纳法证明C12.12.2.A.2)(,1),1,(12131211:.21-kkkknDCBkknNnn左端增加的项数是到第二步证明从用数学归纳法证明B成立大的自然数对所有比成立对所有奇正整数成立对所有偶正整数成立对所有正整数则下列结论正确的是成立对又若亦成立则它对成立对如果命题nnnnnnpknknnp1D.p(n)C.p(n)B.p(n)A.p(n))(,2)(,2,)(.3B时该命题成立当时该命题不成立当时该命题成立当时该命题不成立当那么可推得该命题不成立时现在已知当时该命题也成立那么可推得该命题成立时若有关某个命题与自然数4D.4C.6B.6A.)(,,5,1,,)(,.4nnnnnknNkknnCD.10C.9B.8A.7)(,641272141211.51起始值至少就应取为成立式用数学归纳法证明不等nB题成立证明命为正奇数假设命题成立证明假设成立证明命题为正奇数假设命题成立证明假设正确的证法是在第二步时整除能被是正奇数时当用数学归纳法证明2,)(D.1),(12C.1,)(B.1),(A.)(,,,.6knkknknNkknknkknknNkknyxyxnnnD132.1k12kC.1)B.2(2k1A.2k)(1)().12(312)()2)(1(.7kkDkkNnnnnnnn左端需增乘的代数式是到从用数学归纳法证明B)34)(1()12(2)2()12()5443()3221(:.8222222nnnnnnn用数学归纳法证明.?2)()()()1()2()1()(,131211)(.9并证明结论的一切自然数成立对使等式是否存在设nngnfngnfffngnnf二.用数学归纳法证明几何问题.?,,,)3(.2,证明你的结论共有多少条这样的直线直线过这些点中任意两点作同一条直线上其中任何三点都不在个点平面上有例nNnn特别提示:用数学归纳法证几何问题,应特别注意语言叙述正确,清楚,一定要讲清从n=k到n=k+1时,新增加量是多少.一般地,证明第二步常用的方法是加一法,即在原来的基础上,再增加一个,也可以从k+1个中分出一个来,剩下的k个利用假设..?:51.450证明你的结论边形有多少条对角线凸题第习题nP下面用数学归纳法证明凸边形的对角线条数解).3)(3(21)(::nnnnfn.,.0)33(321)3(,3)1(命题成立而三角形没有对角线时当fn11)2(,,,1,1).3)(3(21)(,)2(111kkAAkAAkkknkkkkfkknkkk增加的对角线条数为边形的一边原不相邻顶点连线再加上与点增加的对角线条数是顶增加了一个顶点增加了一边边形的基础上边形是在时当边形的对角线的条数即凸时命题成立假设当.3,)2(),1(,13)1()1(21)2)(1(21)2(211)3(21)1(2命题成立可知对任何由命题成立时故nNnknkkkkkkkkkkf证明你的结论少个区域这些直线把平面分成多任意三条不共点交其中任意两条都相条直线平面上有题第习题?,,,:61.450nP下面用数学归纳法证明域数目为条直线把平面分成的区这样的解22)(:2nnnfn.1,2)1(,,1)1(时命题成立部分一条直线将平面分成两时当nfn.1,,1,1,1,22)(,)()2(2kkkkkkknkkkfNkkn也即使原区域数目增加原区域一分为二的其中每一段都把它所在段条直线截成即它被前面个不同交点条直线有条直线与前面第时当即有时命题成立假设当命题成立对任意正整数可知由命题成立时故当,,)2)(1(,122)1()1(243k1221)()1(222nknkkkkkkkkfkf补充练习：.2)(:,,,2个部分个圆把平面分成这求证不相交于同一点并且每三个圆都两点其中每两个圆都相交于个圆有nnnfnn命题成立时又个部分即一个圆把平面分成二时当证明,22,1,2)1(,1)1(:2nnnfn.)2)(1(.1,2)1()1(22)1(,2,22,2,,1,2)(,,)2(222命题成立可知对任意由时命题成立即当即块加因此这平面的总区域增块每条弧把原区域分成条弧而把它分成个点交于于是它与其它点又无三圆交于同一个圆中每个圆交于两点与前圆那么由题意知第个部分个圆把平面分成即命题成立时假设当Nnknkkkkkkfkkkkkkkkkfkkn二.用数学归纳法证明不等式问题.,512,256,128,64,32,16,8,4,2:2;,81,64,49,36,25,16,9,4,1:.?,12nnnnnbnaba证明你的结论始终小于从第几项起观察下面两个数列例)5,(2,,5,2nNnnbannn即项起从第由数列的前几项猜想命题成立时有当证明,255)1(:52n,1.2,)5()2(2时当即有时命题成立假设当knkkknk)5,(2,)2)(1(.12nNnnknn可知由时命题成立即当)(sinsin.2Nnnn证明不等式例.,sin,1)1(:不等式成立右边上式左边时当证明n,1.sinsin,,)1()2(时当即有命题成立时假设当knkkkkn.,)2)(1(.1均成立不等式对一切正整数可知由时不等式成立即当nknnxxnxxxn1)1(,1,0,1,:.3那么有的自然数为大于且是实数如果证明贝努利不等式例.,2121)1(0,2)1(:22不等式成立得由时当证明xxxxxn,1.1)1(,)2()2(时当即有时不等式成立假设当knkxxkknk.,)2)(1(.1贝努利不等式成立可知由时不等式成立当kn成立的正整数对一切不小于由贝努利不等式可得时且是实数当nxnxxxxxxn2,11)11(,0,1,)1(1)1(,10,)1(1)1(,01,.,xxxxxxn有时并且满足是实数当有时或者并且满足是实数当类似不等式成立仍有时改为实数整数把贝努利不等式中的正.,1,,,)(:.4212121naaaaaaaaannnnn那么它们的和乘积的个正数为正整数如果证明例.,1,1)1(:1命题成立有时当证明ankaaaaaakknkk2121,1.,)2(则个正数的乘积即若命题成立时假设当.1,,,,1,1121121kkkaaaaaaakkn满足条件个正数已知时当命题得证其和为则它们都是都相等个正数若这,1,1,,,,,1121kaaaakkk.1,1).1(11,,,,,121121121aaaaaaaaakkkk不妨设矛盾否则与的数也有小于的数则其中必有大于不全相等个正数若这kaaaaaaaaaakaakkkk1321132121,1,,,,,,由归纳假设可以得到的乘积是个正数这样就得到看作一个数我们把乘积为利用归纳假设21143aakaaaakk)1)(1(11)1(2121212121121aaaaaakaakaakaaaakk时命题成立当即11,010)1)(1(,1,11211212121knkaaaakaaaaaaaakkkk.,1,,,,,)2)(1(212121成立那么它们的和乘积的个正数如果对一切正整数可知由naaaaaaaaannnnn