常系数线性常微分方程

常系数高阶线性微分方程一.常系数线性齐次微分方程二.常系数线性非齐次微分方程第六章常系数齐次线性微分方程基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化第六章二阶常系数齐次线性微分方程:xrey和它的导数只差常数因子,代入①得0)(2xreqprr02qrpr称②为微分方程①的特征方程,1.当042qp时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为xrxreCeCy2121(r为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.2.当042qp时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:[1xre)(1urup0uq)2(211ururu是特征方程的重根0u取u=x,则得,12xrexy因此原方程的通解为xrexCCy1)(210)()2(1211uqrprupru3.当042qp时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx小结:),(0为常数qpyqypy,02qrpr特征方程:xrxreCeCy2121实根xrexCCy1)(21)sincos(21xCxCeyx特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.若特征方程含k重复根若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项)(01)1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程:0111nnnnararar例1.032yyy求方程的通解.解:特征方程,0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为例2.求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解:特征方程0122rr有重根,121rr因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得,41C于是所求初值问题的解为22C例3.的通解.解:特征方程,052234rrr特征根:irrr21,04,321因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(43xCxCex例4..0)4()5(yy解方程解:特征方程:,045rr特征根:1,054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxeC5(不难看出,原方程有特解),,,,132xexxx02)(22222rr例5..)0(0dd444wxw解方程解:特征方程:即0)2)(2(2222rrrr其根为),1(22,1ir)1(24,3ir方程通解:xew2)2sin2cos(21xCxCxe2)2sin2cos(43xCxC例6..02)4(yyy解方程解:特征方程:01224rr0)1(22r即特征根为则方程通解:内容小结),(0为常数qpyqypy特征根:21,rr(1)当时,通解为xrxreCeCy212121rr(2)当时,通解为xrexCCy1)(2121rr(3)当时,通解为)sincos(21xCxCeyxir2,1可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.思考与练习求方程的通解.答案::0a通解为xCCy21:0a通解为xaCxaCysincos21:0a通解为xaxaeCeCy21思考题为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为2)1(r0)4(2r即04852234rrrr故所求方程为其通解为常系数非齐次线性微分方程型)()(xPexfmxxxPexflxcos)([)(型]sin)(~xxPn一、二、第六章)(xfyqypy),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为Yy*y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法)([xQex)()2(xQp])()(2xQqp)(xPemx一、型)()(xPexfmx为实数,)(xPm设特解为,)(*xQeyx其中为待定多项式,)(xQ])()([*xQxQeyx])()(2)([*2xQxQxQeyx代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为.)(*xQeymx为m次多项式.Q(x)为m次待定系数多项式(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,,02p)(xQ则是m次多项式,故特解形式为xmexQxy)(*2小结对方程①,)2,1,0()(*kexQxyxmk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.)(xQ)(xPm)()(2xQqp即即当是特征方程的k重根时,可设特解例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得31,110bb于是所求特解为0,0例2.的通解.解:本题特征方程为,0652rr其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为xebxbxy210)(*比较系数,得1,2110bb因此特解为.)1(*221xexxy代入方程得xbbxb01022所求通解为.)(2221xexx,2例3.求解定解问题0)0()0()0(123yyyyyy解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故21322CC故对应齐次方程通解为1CYxeC2xeC23原方程通解为1CyxeC2xeC23由初始条件得,0于是所求解为xeeyxx2141432解得41143321CCC二、型xxPxxPexfnlxsin)(~cos)()(ximexPxf)()()(ximexP)()(第二步求出如下两个方程的特解ximexPyqypy)()(yqypy分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点ximexP)()(第一步利用欧拉公式将f(x)变形xexf)(ixPxPnl2)(~2)(xie)(ixPxPnl2)(~2)(xie)(ximexPxf)()()(ximexP)()(ximexP)()(ximexP)()(则令,,maxlnm)(xPl2xixiee)(~xPnieexixi2第二步求如下两方程的特解i是特征方程的k重根(k=0,1),ximkexQxy)(1)())((次多项式为mxQm故ximexPyqypy)(111)()()(等式两边取共轭:ximexPyqypy)(111)(1y这说明为方程③的特解.ximexPyqypy)()(②ximexPyqypy)()(③设则②有特解:第三步求原方程的特解利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:11*yyyxkexximximeQeQ原方程yqypyxxPxxPenlxsin)(~cos)(xkex)sin(cosxixQm)sin(cosxixQmxkexxRmcosxRmsin~mmRR~,其中均为m次多项式.第四步分析的特点yxRxRexyyymmxksin~cos11因11yy*yy所以mmRR~,因此均为m次实多项式.11yyy本质上为实函数,11yy小结xxPxxPenlxsin)(~cos)(对非齐次方程yqypy),(为常数qpxRxRexymmxksin~cos*则可设特解:其中为特征方程的k重根(k=0,1),i上述结论也可推广到高阶方程的情形.例4.的一个特解.解:本题特征方程,2,0故设特解为不是特征方程的根,代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl,0)(~xPn比较系数,得9431,da于是求得一个特解13a043cb03c043ad0cb例5.的通解.解:特征方程为,092r其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为)3sin33cos5(*xxxy代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为为特征方程的单根,)3sin33cos5(xxx因此设非齐次方程特解为例6.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根xexyyxsin3)2()4(利用叠加原理,可设非齐次方程特解为)sincos(xkxdx设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:思考与练习时可设特解为xy*xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2时可设特解为提示:xdcxsin)(1.(填空)设]sin)(~cos)([xxRxxRmm2.求微分方程xeyyy44的通解(其中为实数).解:特征方程,0442rr特征根:221rr对应齐次方程通解:2时,,xeAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解为2时,,2xexBy令代入原方程得,21B故原方程通解为3.已知二阶常微分方程xecybyay有特解,)1(2xxexey求微分方程的通解.解:将特解代入方程得恒等式xxxxecexbaeaeba)1()2()1(比较系数得01baca201ba0a1b2c故原方程为对应齐次方程通解:xxeCeCY21xxexey原方程通解为xxeCeCy21xex振动问题当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,xxo解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻t物位移为x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.据牛顿第二定律得,2mck,2mn令则得有阻尼自由振动方程:0dd2dd222xktxntx阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力作用，tpHFsin，令mhH则得强迫振动方程:tphxktxntxsindd2dd222例2.xxo解:由例1知,位移满足质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律立坐标系如图,设t=0时物体的位置为取其平衡位置为原点建00ddvtxt,00xxt22ddtx02xktxndd2因此定解问题为自由振