数学建模---彩票中的数学模型

近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0～9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0～4号球中摇出一个特别号码。投注者从0～9十个号码中任选6个基本号码，从0～4中选一个特别号码为一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X表示未选中的号码）。实例1.“彩票中的数学”问题（CUMCM2002-B）“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01～33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01～33个号码中任选7个组成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从01～36个号码球中摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01～36个号码中任选7个组成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。中奖等级10选6+1（6+1/10）基本号码特别号码说明一等奖abcdefg选7中（6+1）二等奖abcdef选7中（6）三等奖abcdeXXbcdef选7中（5）四等奖abcdXXXbcdeXXXcdef选7中（4）五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef选7中（3）六等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef选7中（2）中奖等级33选7（7/33）36选6+1（6+1/36）基本号码特别号码说明基本号码特别号码说明一等奖●●●●●●●选7中（7）●●●●●●★选7中（6+1）二等奖●●●●●●○★选7中（6+1）●●●●●●选7中（6）三等奖●●●●●●○选7中（6）●●●●●○★选7中（5+1）四等奖●●●●●○○★选7中（5+1）●●●●●○选7中（5）五等奖●●●●●○○选7中（5）●●●●○○★选7中（4+1）六等奖●●●●○○○★选7中（4+1）●●●●○○选7中（4）七等奖●●●●○○○选7中（4）●●●○○○★选7中（3+1）以上两种类型的奖金总额一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：[(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖总额]×单项奖比例要解决的问题：（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。1、模型的假设及符号说明•彩票摇奖是公平公正的，各号码的出现是随机的；•彩民购买彩票是随机的独立事件；•对同一方案中高级别奖项的奖金比例或奖金额不应低于相对级别的奖金比例或降金额；•根据我国的现行制度，假设我国居民的平均工作年限为T=35年。jr---第j等（高项）奖占高项奖总额的比例，j=1,2,3(17);ixi：第i等奖奖金额的均值，;ix彩民对某个方案第j等奖的满意度，即第j等奖对彩民的吸引力，17i；某地区的平均收入和消费水平的相关因子，称为“实力因子”，一般常数。F；彩票方案的合理性指标，即方案设置对彩民吸引力的综合指标。ip；彩民中第i等奖xi的概率，。17i2，模型的准备（1）彩民获各奖项的概率从已给的29种方案可知，可将其分为四类：（1）传统型（10选6+1）（2）乐透型(n选m)（3）乐透型（n选m+1）（4）无特殊号型(n选m)对某一方案而言，每注彩票中各等奖的概率是可求得，（1）传统型（10选6+1）7161210510p7264810510p1593621.81010Cp11114910994622.611010CCCCp111111391010991056223.421010CCCCCCp11111111111291010109910109996623(32)4.19951010CCCCCCCCCCCp（2）乐透型(n选m)11mnpC12mmmnCpC1113MMNMMNCCpC2114MMNMMNCCpC2215MMNMMNCCpC3216MMNMMNCCpC3317MMNMMNCCpC（3）乐透型（n选m+1）111MNpC1121MMNMMNCCpC11131MMNMMNCCpC12141MMNMMNCCpC22151MMNMMNCCpC23161MMNMMNCCpC33171MMNMMNCCpC（4）无特殊号型(n选m)11MNpC112MMNMMNCCpC223MMNMMNCCpC334MMNMMNCCpC445MMNMMNCCpC各种方案的各个奖项获奖概率及获奖总概率计算如表一。（2）确定彩民的心理曲线其中表示彩民平均收入的相关因子，称为实力因子。（3)计算实力因子我国中等地区的收入：人均年收入1.5万元，平均工作年限35年算，人均总收入为52.5万元，于是由252.5()(52.5)10.5e56.30589102()()1(0)xxe3、模型的建立与求解（第一问的解答）判别函数的构造综合以上的分析，考虑彩民心理因素的影响，可取为分风险益损函数，由此来构造给定方案合理性的判别函数：高项奖的计算方法：单注可能的第等奖的奖金额为：2()()1(0)xxe71()iiiFpxj7474(1),1,2,3(1),1,2,3jjjjjkjjjkjjpxrpxjrpxxjp于是得判别函数：•••将29个方案的有关数据代入判别函数中，求出的值，通过比较值的大小。，我们可以确定给定的各种方案的优劣（见排序表，即表1）。27174()5()(1),1,2,3()1(6.3058910),1,2,....,7iiiijjjkjjxiFpxrpxxjpxei方案F排序97/304*10710860002067914101117/313.8*1071704000324482116257/293.6*10775570035984171431x3x2x（2）第二问的模型及解答问题二中只需在乐透型彩票进行讨论，我们需要求出当取何值，取几个奖项，高项奖的百分比及低项奖的奖金额为多少时方案最优。最优方案的目标函数仍然为问题一的判别函数，可得非线性规划模型如下：,mn27174()5123111max()(1),1,2,3()1(6.3058910),1,2,....,757,2960,0.50.8,.1,0,(1,2,3),(1,2,3,4,5,6)6000005000000200iiiijjjkjjxiiiiiiiiiFpxrpxxjpxeimnrstrrrrippixxabxn410