1.4.2正弦函数-余弦函数的性质第二课时

复习回顾•1.上一节我们学了y=sinx和y=cosx的最小正周期为2π•2.y=sinx为奇函数，y=cosx为偶函数。•3.•的周期为0)),cos()(sin(xAyxAy或2T•y=sinx和y=cosx除了周期性和奇偶性还有别的性质吗？y=sinx和y=cosx的定义域和值域•由图易知y=sinx和y=cosx的定义域都为R，值域都为1,1•上都是增函数,其值从-1增大到1;•在每一个闭区间•上都是减函数,其值从1减小到-1•上都是增函数,其值从-1增大到1;•在每一个闭区间•上都是减函数,其值从1减小到-1解析式y＝sinx(k∈Z)y＝cosx(k∈Z)最值当当当当1,22minykx[小问题·大思维]1．正弦曲线(余弦曲线)是轴对称图形吗？提示：是．有无数条对称轴，凡是过最高或最低点且垂直于x轴的直线均为对称轴，方程为x＝π2＋kπ(x＝kπ)，k∈Z.提示：是．曲线与x轴的交点都是对称中心，对称中心的坐标为(kπ，0)[(π2＋kπ，0)]，k∈Z.2．正弦曲线(余弦曲线)是中心对称图形吗？函数定义域值域奇偶性周期性单调性最值对称y=sinxR奇增减对称中心对称轴y=cosxR偶增减对称中心对称轴Zk[-1,1][-1,1]2π2πkk22,22kk223,22kk2,2kk2,2Zk0,k0,2kkx2kx1,22minykx例3下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.(1)y=cosx+1,x∈R;(2)y=-3sin2x,x∈R.解:(1)使函数y=cosx+1,x∈R取得最大值的x的集合,就是使函数y=cosx,x∈R取得最大值的x的集合{x|x=2kπ,k∈Z}取最小值时x的集合{x|x=(2k+1)π,k∈Z}(2)令z=2x,使函数y=-3sinz,z∈R取得最大值的z的集合是|2,2zzkkZ由4xk222xzk因此使函数y=-3sin2x,x∈R取得最大值的x的集合|,4xxkkZ取得最小值的x的集合|,4xxkkZ例4利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小:1sinsin;181023172coscos.54与与分析:利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,可以用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小.解:(1)因为021018正弦函数y=sinx在区间上是增函数,所以,02)10sin()18sin((2)23cos523cos53cos517cos417cos4cos4因为3045且函数y=cosx,x∈[0,π]是减函数,所以3coscos451723coscos45例5求函数1sin,2,223yxx的单调递增区间123zx令函数y=sinz的单调递增区间是-+2,222kk1222232kxkZkkxk,43435]2,2[x又3,35-0为时满足，故所求增区间只有k[悟一法]求三角函数y＝Asin(ωx+φ)(Aω≠0)或y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)的单调区间时，一定要注意函数中A与ω的符号．一般来说，对于y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)，如果ω0，可以利用正弦函数为奇函数将负号拿到函数符号外面，对于y=Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)，如果ω0，可以利用余弦函数为偶函数将负号直接调整．