计算方法-14-欧拉公式-常微分方程

欧拉公式–常微分方程2016/2017学年第一学期（16周）计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院1在科学与工程技术领域中，常需要求解常微分方程的定解问题。这类问题的最简单形式，是一阶常微分方程的初值问题。我们知道，只要右端函数f(x,y)适当光滑，如关于y满足利普希茨条件理论上就可以保证初值问题的解y=y(x)存在并且唯一。微分方程数值解法00(,)()yfxyyxy(,)(,)fxyfxyLyy计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院2在处的导数可以近似地表示成差商用近似地代替，可将初值问题离散化成为即以上公式称为显式欧拉公式。为了不引起混淆表示解在处的精确值，而表示其近似值。显式欧拉公式()nnxyx111()()()()()nnnnnnnyxyxyxyxyxxxh()nnyyx11(,)(,)(0,1,)(1)nnnnnnnnyyfxyhyyhfxyn()()nnnyxyyxxy计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院3在显式欧拉公式中，除了外，有和。因此，用显式欧拉公式计算所得到点列的散点图，是一条近似欧拉折线。显式欧拉公式几何意义00()()nnyyxyyx(,)()nnnfxyyxP4P3P2P0P1x4x3x2x1解曲线欧拉节点欧拉折线近似欧拉节点近似欧拉折线x0计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院4在处的导数，可以近似表示成差商用代替，代替，可将初值问题离散化成为即以上公式称为隐式欧拉公式。隐式欧拉公式11()nnxyx11()()()nnnyxyxyxh11()()nnnnyyxyyx111111(,)(,)(2)nnnnnnnnyyfxyhyyhfxy计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院5公式(1)和(2)均为欧拉公式，但有本质的区别。式(1)是关于的一个可直接进行的计算公式，这类公式称作显式的；而式(2)的右端含有未知的，它实际上是一个关于的计算方程，这类公式称作隐式的。欧拉公式1ny1ny1ny1111(,)(0,1,)(1)(,)(0,1,)(2)nnnnnnnnyyhfxynyyhfxyn计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院6隐式公式不能直接求解，需采用迭代法求解。用显式欧拉公式提供迭代初值，其迭代公式为：因为这里，L是f(x,y)关于y的利普希茨常数，如果选取h充分小，使得hL1，则当时，有，这说明以上迭代公式是收敛的。欧拉公式(0)1(1)(1)111(,)(0,1,)(,)nnnnkknnnnyyhfxykyyhfxy(1)()111111()11=(,)(,)kknnnnnnknnyyhfxyfxyhLyyk(1)11knnyy计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院7对方程从到积分，得利用数值积分中的梯形公式并将式中的用代替，用代替可导出称此公式为梯形公式。容易看出，梯形公式实际是显式和隐式欧拉公式的算术平均。梯形公式(,)nnyfxyxy11()(),()dnnxnnxyxyxftytt111,()d,(),()2nnxnnnnxhftyttfxyxfxyx11()()nnnnyxyyxy111,,2nnnnnnhyyfxyfxy计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院8可以不难看到，梯形公式虽然提高了精度，但其算法复杂，在应用迭代公式进行实际计算时，每迭代一次，都要重新计算函数f(x,y)的值，而迭代又要反复进行若干次，计算量很大。为了控制计算量，通常只迭代一次就转入下一步的计算，这样就简化了算法。改进的欧拉公式计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院9具体的说，先用显式欧拉公式求得的近似值，称这个值为预报值，预报值的精度可能较差，再将该预报值代入梯形公式，求得，称这个值为校正值，校正值的精度会有所提高，如此建立的计算公式称为改进的欧拉公式。改进的欧拉公式1ny1ny1ny1111(,),,2nnnnnnnnnnyyhfxyhyyfxyfxy计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院10在实际计算中，通常将改进欧拉公式表述称以下形式：预报：校正：改进：改进的欧拉公式1111(,),,2nnnnnnnnnnyyhfxyhyyfxyfxy(,)pnnnyyhfxy1(,)cnnpyyhfxy112npcyyy计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院11例题例：利用欧拉方法、改进欧拉方法求解以下初值问题，其中步长。,0,0.6(0)0yxyxy0.1h计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院12解：欧拉计算公式：改进欧拉计算公式：例题0(,)00.1fxyxyyh10.10.9(0,1,2,,6)iiiyxyi11110.10.9(0,1,2,,6)0.05()()iiiiiiiiiyxyiyyxyxy计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院13解：计算结果如表所示。例题0.00000.0000000.0000000.0000000.0000000.10000.0000000.0048370.005000-0.0001630.20000.0100000.0087310.019025-0.0002940.30000.0290000.0118180.041218-0.0004000.40000.0561000.0142200.070802-0.0004820.50000.0904900.0160410.107076-0.0005450.60000.1314410.0173710.149404-0.000592()()()()iiiiiiixyyxyyyxy欧拉改进欧拉计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院14例题例：利用欧拉方法求以下公式在给出点处的近似值（取）。20()0.5,1.0,1.5,2.0xtyxedtx0.5h计算方法（2016/2017第一学期）西南科技大学制造科学与工程学院15解：问题等价于求解记，取则于是欧拉计算公式：可得：例题2(,)0.5xfxyeh2100.5(0,1,2,3)0xiiyyeiy2,0,2(0)0xyexy012340,0.5,1.0,1.5,2.0xxxxx1234(0.5)0.5,(1.0)0.88940(1.5)1.07334,(2.0)1.2604yyyyyyyy