坐标系-(共29张PPT)

[知识重温]一、必记3●个知识点1．极坐标的概念(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O，叫做①______，从O点引一条射线Ox，叫做②______，选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称为③__________.极点极轴极坐标系(2)极坐标：对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫做点M的④______，θ叫做点M的⑤______，有序实数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．当点M在极点时，它的极径⑥______，极角θ可以取⑦______.(3)点与极坐标的关系：平面内一点的极坐标可以有无数对，当k∈Z时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)表示⑧________，而用平面直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，或者－π＜θ≤π，那么，除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了．极径极角ρ＝0任意值同一个点2．极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示．(2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈[0,2π))，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式x＝⑨y＝⑩ρ2＝⑪________________tanθ＝⑫______________在一般情况下，由tanθ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角．ρcosθρsinθx2＋y2yx(x≠0)3．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆⑬________________圆心为(r,0)，半径为r的圆⑭________________圆心为r，π2，半径为r的圆⑮________________ρ＝r(0≤θ＜2π)ρ＝2rcosθ－π2≤θ＜π2ρ＝2rsinθ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a,0)，与极轴垂直的直线⑯________________ρcosθ＝a过点a，π2，与极轴平行的直线⑰________________过点(a,0)，倾斜角为α的直线⑱________________ρsinθ＝a(0＜θ＜π)ρsin(α－θ)＝asinα二、必明3●个易误点1．极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角．3．极坐标与直角坐标的重要区别：多值性．在直角坐标系中，点与直角坐标是“一对一”的关系；在极坐标系中，由于终边相同的角有无数个，即点的极角不唯一，因此点与极坐标是“一对多”的关系，但不同的极坐标可以写出统一的表达式．如果(ρ，θ)是点M的极坐标，那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以作为点M的极坐标．考向一直角坐标系中的伸缩变换[自主练透型][例1]求双曲线C：x2－y264＝1经过φ：x′＝3x，2y′＝y变换后所得曲线C′的焦点坐标．[解析]设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将x＝13x′，y＝2y′，代入x2－y264＝1，得x′29－4y′264＝1，化简得x′29－y′216＝1，即x29－y216＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F1(－5,0)，F2(5,0)为所求．——[悟·技法]——伸缩变换公式应用时的两个注意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(x′，y′)，再利用伸缩变换公式x′＝λxλ0，y′＝μyμ0，建立联系．(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(x′，y′)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．——[通·一类]——1．若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：x′＝2x，y′＝3y的作用下得到曲线的方程为y′＝3sinx′＋π6，求函数y＝f(x)的最小正周期．解析：由题意，把变换公式代入曲线y′＝3sinx′＋π6得3y＝3sin2x＋π6，整理得y＝sin2x＋π6，故f(x)＝sin2x＋π6.所以y＝f(x)的最小正周期为2π2＝π.考向二极坐标与直角坐标的互化[自主练透型][例2]在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1(0≤θ≤2π)，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．[解析](1)由ρcosθ－π3＝1得ρ12cosθ＋32sinθ＝1，从而C的直角坐标方程为12x＋32y＝1，即x＋3y＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N233，π2.(2)M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为0，233，所以P点的直角坐标为1，33，则P点的极坐标为233，π6，所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．——[悟·技法]——1.极坐标与直角坐标互化公式的三个前提条件(1)取直角坐标系的原点为极点．(2)以x轴的非负半轴为极轴．(3)两种坐标系规定相同的长度单位．2．直角坐标化为极坐标的关注点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．——[通·一类]——2．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcosθ－π4＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解析：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；因为ρ2－22ρcosθ－π4＝2，所以ρ2－22ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2，所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsinθ＋π4＝22.考向三直线与圆的极坐标方程的应用[互动讲练型][例3](2016·北京卷，11)在极坐标系中，直线ρcosθ－3ρsinθ－1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，则|AB|＝________.[解析]利用极坐标方程与直角坐标方程的互化，先将直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再进行求解．∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直线的直角坐标方程为x－3y－1＝0.∵ρ＝2cosθ，∴ρ2(sin2θ＋cos2θ)＝2ρcosθ，∴x2＋y2＝2x.∴圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.∵圆心(1,0)在直线x－3y－1＝0上，∴AB为圆的直径，∴|AB|＝2.[答案]2——[悟·技法]——常见的直线与圆的综合问题(1)直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有：直线与圆的位置关系公共点的人数d与r的关系图形相离无dr相切一个d＝r相交两个dr(2)若直线与圆相交于点A，B，则弦长公式为|AB|＝2r2－d2.——[通·一类]——3．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．解析：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2.由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为12.