固体物理复习

第一章晶体结构一、几种典型的晶体结构(配位数）简单立方结构（sc）体心立方结构（bcc）：如：Li,Na,K,Ba密排六方结构（hcp）:ABABAB如：Mg,Zn,Cd面心立方结构（fcc）:ABCABC如：Ca，Cu,Al金刚石结构：如：金刚石，Si,GeNaCl结构：如：NaCl,LiF,KBrCsCl结构：如：CsCl,CsBr,CsI闪锌矿结构：如：ZnS二、晶格的周期性晶格——————等同点系——————空间点阵数学抽象任取一点格点（或阵点）基元：一个格点所代表的物理实体格矢：Rl＝l1a1+l2a2+l3a3基矢：a1，a2，a3（简单立方，体心立方，面心立方）原胞：1.空间点阵原胞：空间点阵中最小的重复单元，只含有一个格点，对于同一空间点阵，原胞的体积相等。123avaaa2.晶胞：晶体学通常选取较大的周期单元来研究晶格结构，以反映晶格的对称性。3.Wigner－Seitz原胞：由各格矢的垂直平分面所围成的包含原点在内的最小封闭体积晶格的分类：简单晶格：每个晶格原胞中只含有一个原子，即晶格中所有原子在化学、物理和几何环境完全等同（如：Na、Cu、Al等晶格）。复式晶格：每个晶格原胞中含有两个或两个以上的原子，即晶格中有两种或两种以上的等同原子（或离子）。如：Zn、Mg、金刚石、NaCl等晶格。以原胞基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为晶面指数，用(h1h2h3)表示。321,,aaa以布拉维原胞（晶胞）基矢为坐标轴来表示的晶面指数称为密勒指数，用(hkl)表示。cba,,例1：如图所示，I和H分别为BC，EF之中点，试求晶面AEG，ABCD，DIHG的密勒指数。cbaAEGABCDDIHG111121rst晶面在三个坐标轴上的截距abcOABCDEFGHI(111)11:1:1(001)1:11:21(120)11:11:11tsrlkh1:1:1::密勒指数倒格矢：Gn＝n1b1+n2b2＋n3b3,n1,n2,n3＝整数倒格子原胞体积：b=b1·b2b338abv和2lnhRGh＝整数面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。三、倒格子倒格子基矢的定义：ai·bj＝2ij，i,j=1,2,3)(321213132321222aaavvaabvaabvaab＝倒格矢与正格中晶面族(h1h2h3)正交，且其长度为。332211hbhbhbhK321π2hhhdaaaaiaa1jaa2jaaiaa21ijjibaπ2)ji(π2)(0ji例1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。1，2，3，4，6度旋转对称操作。1，2，3，4，6度旋转反演对称操作。(3)中心反映：i。(4)镜象反映：m。C1，C2，C3，C4，C6（用熊夫利符号表示）S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）点对称操作：(2)旋转反演对称操作：(1)旋转对称操作：独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m，。或C1，C2，C3，C4，C6，Ci，Cs，S4。4四、晶体的宏观对称性，点群32个点群，微观对称性，230个空间群五、晶系和Bravais格子晶胞：既能反映晶格的周期性又能体现晶体宏观对称性特征的最小重复单元。(注意与原胞的区别)晶胞的坐标系：a，b，c晶胞的基矢坐标系中的七个晶系：根据晶体的对称性特征分类晶向指数123()hhh密勒指数14种Bravais格子（了解）立方晶系的基矢：fcc：123222aaaajkakiaijbcc：123+222aaaaijkaijkaijk=a=a=a1a2a3aijksc本章要求：几种简单的晶体结构；掌握关于晶体的基本概念（晶格、空间点阵、基矢、原胞、格点、基元、简单晶格和复式晶格等）；倒易空间的概念，倒格子基矢的定义，倒格子与正格子的关系，要求给定一组正格子基矢，会求出相应的倒格子基矢；晶胞的概念，晶胞的基矢坐标系，晶胞参量；晶系和Bravais格子；格常数为a的面心立方的倒格子是格常数为4/a的体心立方，反之亦然。立方晶系的基矢。课后习题：1，2，5，7，8，10第二章晶体的结合一、晶体结合的基本类型及主要特征二、晶体中粒子的相互作用双粒子模型：mnaburrr晶体的互作用能：mnABUrrr由平衡条件00rdUdr求出r0和U0结合能：W＝－U00结合能的物理意义：将自由的原子(离子或分子)结合成晶体时所释放的能量。假设相距无穷远的两个自由原子间的相互作用能为零，相互作用力为零。)(ar)(rumr)(rf0rr)(b(a)互作用势能和原子间距的关系(b)互作用力和原子间距的关系,0rf,rr)(0斥力,0rf,rr)(0min0)(0,)(rurf,rr引力)(mmrf,rr最大有效引力体积压缩模量2020VdPdUKVVdVdV体积压缩模量的物理意义：产生单位相对体积压缩所需的外加压强。三、离子晶体的互作用能204nNqBUrrrMadelungconst.的求法：中性组合法2[]RqUNzeR1(:)NjiijP符号定义同号为负异号为正16例2：计算正负离子相间排列，相邻离子间距为R的一维无限长离子链的马德隆常数。选定某一正离子为参考离子，对于负离子取正号，正离子取负号，马德隆常数2ln21Njja',1,11aRrrA,3,333aRrrC,2,222aRrrBA´iA+－+－+－BR－CB´C´1112(1)234432)1ln(432xxxxx2ln2解:四、分子晶体的互作用能1264urrr——Lennard－Jones势1261262UrNAArr晶体互作用能A12和A6只与晶体结构有关掌握各种晶体结合类型的基本特征；给定晶体相互作用能的形式，根据平衡条件、体积压缩模量的定义以及体积因子求出平衡时晶体中最近邻粒子间的距离r0、相互作用能U0（或结合能W）和体积压缩模量K的表达式。离子晶体和分子晶体的互作用能，Lennard-Jones势，Madelung常数的求法。课后习题2，3，本章要求：第三章晶格振动和晶体的热学性质一、晶格振动的运动方程，格波方程和色散关系，格波的概念；简谐近似二、光学波和声学波的物理图象光学波的物理图象：原胞内不同原子间基本上作相对振动，当q0时，原胞内不同原子完全作反位相振动。声学波的物理图象：原胞基本上作为一个整体振动，当q0时，原胞内各原子的振动（包括振幅和位相）完全相同。振动很微弱时，势能展式中只保留到(r)2项,3次方以上的高次项均忽略掉的近似为简谐近似(忽略掉作用力中非线性项的近似)。nknknkrnkxxruf022dd022ddrnkru格波：晶体中的原子都在它的平衡位置附近不断地作微振动，由于原子间的相互关联，以及晶体的周期性，这种原子振动在晶体中形成格波。一维晶格振动在简谐近似下，格波可以分解成许多简谐平面波的线性叠加。模型运动方程试探解色散关系波矢q范围一维无限长原子链，m，a，晶格振动波矢的数目=晶体的原胞数B--K条件波矢q取值11..nnnnxxxxnmxnaqtinAxe2sin2aqmaqaππNnnxxn-2nn+1n+2n-1ammoaπaπm2一维双原子链振动2n-22n2n+12n+22n-1MmaaqntinAx1212enxM2..nnnxxx21212212..nxm122222nnnxxxnaqtinBx22e}2cos2){(222aqmMMmMmmM,)(22Nnnxxaqa2π2πoqa2πa2πOA长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相同的振幅和位相作整体运动。因此，可以说，长声学波代表了原胞质心的运动。长光学波，原胞的质心保持不动。所以定性地说，长光学波代表原胞中两个原子的相对振动。3nN种声子3N种声学声子，(3n-3)N种光学声子。3nN个振动模式晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数N，格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn，独立的振动模式数=晶体的自由度数mNn。N是晶体的原胞个数，n是原胞内原子个数，m是维数。声子：晶格振动的能量量子。能量为,准动量为。q三维晶格振动、声子25例2：金刚石结构有几支格波?几支声学波?几支光学波?设晶体有N个原胞，晶格振动模式数为多少?答:金刚石结构为复式格子,每个原胞有2个原子。,2,3nm有6支格波，3支声学波，3支光学波。振动模式数为6N。晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数N，格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn，晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn。2.频率分布函数定义：nlim0)(nsqcqsV313dπ2计算：晶体比热3.晶体比热的爱因斯坦模型和德拜模型1.固体比热的实验规律(1)在高温时，晶体的比热为3NkB；(2)在低温时，绝缘体的比热按T3趋于零。(1)晶体中原子的振动是相互独立的；(2)所有原子都具有同一频率；(3)设晶体由N个原子组成,共有3N个频率为的振动。(1)晶体视为连续介质,格波视为弹性波；(2)有一支纵波两支横波；(3)晶格振动频率在之间(D为德拜频率)。D0~DB0d211e)(ETk211e3BTkNE爱因斯坦模型德拜模型23D9N例1.求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原子质量为m，恢复力常数为(只考虑近邻原子间的相互作用)。由玻恩---卡门周期性边界条件:Nxx111eiNaqsNaqπ2naqtinAxe解:设最近邻原子间的恢复力系数为，则:将试探解代入振动方程得色散关系:11..nnnnxxxxnmx2sin2aqmS为整数saq5π22525saqaππ2525s2,1,0,1,2sa,a,,a,aq5π45π205π25π41524321105πsin25π2sin2,,,m,m2sin2aqm)2sin(2aqm22aNhqhNaq2波矢一维单原子一维双原子12222()4{1[1sin]}()mMmMaqmMmM五、声子概念声子：晶格振动的能量量子，动量是反映晶体中原子集体运动状态的激发单元。声子只是一种准粒子，它不能脱离晶体而单独存在。声子与声子（或声子与其他粒子）的相互作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。ω第j种声子的能量本征值：jjj12En一个典型声子能量：210eVq在一定温度下，第j种声子的统计平均能量为jjjjjB11122exp/1UnkT声子是一种玻色子，在一定温度下，平均声子数按能量的分布遵从Bose－Einstein分布：jj1exp1BnkT会写出一维（简单晶格或复式晶格）晶体链晶格振动的动力学方程，格波方程，并导出色散关系；掌握光学波与声学波的物理图象；周期性边界条件，简约区中波矢的总数和晶格振动格波的总数；声子的概念；课后题2，9，12本章要求：1