北京市2013届中考数学二轮专题突破《四边形中档解答题》(知识概括+典型例题点拨)

专题三┃北京中考四边形中档解答题分析与预测专题三┃京考解读四边形部分知识在北京中考中一般考查4道题，其中选择填空4分，中档解答题5分，实验操作题4～5分，综合题7～8分，所占比例较大．中档解答题在第19题左右，分值为5分，所考查知识点相对稳定，考查学生对所学四边形、相似、解直角三角形等内容的综合应用能力和计算能力．但近些年也出现了一些变化，从2011年开始，从以梯形为背景考查变成了以四边形为背景考查，今年的第19题更是加大了计算量，让较多的考生感到措手不及，这些试题上的变化需要引起我们的关注．京考解读考情分析专题三┃京考解读2008～2012年北京中考知识点对比年份题号20082008201020101201218梯形有关计算19梯形有关计算梯形有关计算四边形有关计算四边形有关计算专题三┃京考解读京考解读与指导►热考一四边形中有关计算例1[2012·海淀一模]四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠CAB＝30°，DE⊥AC于E，且AE＝CE，若DE＝5，EB＝12，求四边形ABCD的周长．专题三┃京考解读解：∵∠ABC＝90°，AE＝CE，EB＝12，∴EB＝AE＝CE＝12.∴AC＝AE＋CE＝24.∵在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，∴BC＝12，AB＝AC·cos30°＝123.∵DE⊥AC，AE＝CE，∴AD＝DC.在Rt△ADE中，由勾股定理得AD＝AE2＋DE2＝122＋52＝13.∴DC＝13.∴四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋DA＝38＋123.专题三┃京考解读解决四边形问题的一种重要方法：通过添加辅助线，转化到直角三角形中进行计算．学生应该熟悉解直角三角形的几种常见模式，同时加大平时训练的计算量．专题三┃京考解读►热考二梯形中的有关计算例2[2010·北京]已知：如图Z3－2，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4.求∠B的度数及AC的长．专题三┃京考解读解：方法一：作AF⊥BC于F，DG⊥BC于G.∴∠AFB＝∠DGC＝90°.∵AD∥BC，∴四边形AFGD是矩形．∴AF＝DG.∵AB＝DC，∴Rt△AFB≌Rt△DGC.∴BF＝CG.∵AD＝2，BC＝4，∴BF＝1.专题三┃京考解读在Rt△AFB中，∵cosB＝BFAB＝12，∴∠B＝60°.∵BF＝1，∴AF＝3.∵FC＝3，由勾股定理，得AC＝23.∴∠B＝60°，AC＝23.专题三┃京考解读方法二：过A点作AE∥DC交BC于点E.∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形．∴AD＝EC，AE＝DC.∵AB＝DC＝AD＝2，BC＝4，∴AE＝BE＝EC＝AB.可证△BAC是直角三角形，△ABE是等边三角形．∴∠BAC＝90°，∠B＝60°.在Rt△ABC中，AC＝AB·tan60°＝23.∴∠B＝60°，AC＝23.专题三┃京考解读例3如图Z3－3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AD＝1，BC＝4，E为AB的中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长.专题三┃京考解读解：方法一：如图，过点D作DG⊥BC于点G.∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠A＝90°.∴四边形ABGD为矩形．∴BG＝AD＝1，AB＝DG.∵BC＝4，∴GC＝3.∵∠DGC＝90°，∠C＝45°，∴∠CDG＝45°.∴DG＝GC＝3.∴AB＝3.又∵E为AB的中点，∴BE＝12AB＝32.∵EF∥DC，∴∠EFB＝45°.在△BEF中，∠B＝90°.∴EF＝BEsin45°＝322.专题三┃京考解读方法二：如图，延长FE交DA的延长线于点G.∵AD∥BC，EF∥DC，∴四边形GFCD为平行四边形，∠G＝∠1.∴GD＝FC.∵EA＝EB，∠2＝∠3，∴△GAE≌△FBE.∴AG＝BF.专题三┃京考解读∵AD＝1，BC＝4，设AG＝x，则BF＝x，CF＝4－x，GD＝x＋1.∴x＋1＝4－x.解得x＝32.∵∠C＝45°，∴∠1＝45°.在△BEF中，∠B＝90°，∴EF＝BEcos45°＝322.专题三┃京考解读梯形中的有关计算，解题思路是通过添加辅助线将梯形转化为平行四边形和特殊三角形，在直角三角形中进行计算．学生需要理解并记忆梯形中常见的作辅助线的方法．专题三┃京考解读►热考三其他四边形中的计算例4[2012·朝阳二模]如图Z3－4，四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点F处，联结DF，CF与AD相交于点E，求DE的长和△ACE的面积．专题三┃京考解读解：由题意，得FC＝BC＝4，AF＝AB＝3，∠ACB＝∠ACF，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC.∴∠ACF＝∠DAC.∴AE＝CE.∴AD－AE＝CF－CE，即DE＝FE.设DE＝x，则FE＝x，CE＝4－x，在Rt△CDE中，DE2＋CD2＝CE2.即x2＋32＝(4－x)2，解得x＝78.即DE＝78.∴AE＝AD－DE＝258，∴S△ACE＝12AE·CD＝7516.专题三┃京考解读矩形的折叠问题中往往隐含着角平分线加上平行线得出等腰三角形的基本图形，同时由于矩形四个角均为90°，还可通过设未知数用勾股定理列方程来考查方程思想的应用．专题三┃京考解读例5[2012·丰台一模]平行四边形ABCD中，过点B作BG∥AC，在BG上取一点E，联结DE交AC的延长线于点F.(1)求证：DF＝EF；(2)如果AD＝2，∠ADC＝60°，AC⊥DC于点C，AC＝2CF，求BE的长．专题三┃京考解读解：联结BD交AC于点O.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD,∵BG∥AF,∴DF＝EF.专题三┃京考解读(2)∵AC⊥DC，∠ADC＝60°，AD＝2，∴AC＝3.∵OF是△DBE的中位线，∴BE＝2OF.∵OF＝OC＋CF，∴BE＝2OC＋2CF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OC.∵AC＝2CF，∴BE＝2AC＝23.专题三┃京考解读熟悉特殊四边形的性质与判定，会使解题过程更简化．特殊平行四边形中对边平行的性质可推相似，运用相似三角形性质计算；矩形有关考题通常考查折叠，解决折叠问题的方法是根据轴对称图形的特殊性质利用全等或相似三角形、方程等知识来完成；菱形对角线互相垂直平分，也为运用直角三角形的性质和勾股定理提供了条件．