步步高 2014届高三数学(理)二轮专题突破课件 专题二 第2讲《三角变换与解三角形》

专题二第2讲第2讲三角变换与解三角形【高考考情解读】1．从近几年的考情来看，对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运用、计算为主，其中与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点；解三角形与其他知识以及生活中的实际问题联系紧密，有利于考查考生的各种能力，因而成了高考命题的一大热点.2．分析近年考情可知，命题模式一般为1～2题，其中，选择(填空)题多为低档题，解答题则一般为与其他知识(尤其是三角函数、向量)交汇的综合题或实际应用题,难度中等．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题二第2讲主干知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题二第2讲主干知识梳理3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．(2)等式的两边同时变形为同一个式子．(3)将式子变形后再证明．4．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题二第2讲主干知识梳理5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.6．面积公式S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题二第2讲主干知识梳理7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题二第2讲热点分类突破考点一三角变换例1(2013·广东)已知函数f(x)＝2cosx－π12，x∈R.(1)求f－π6的值；(2)若cosθ＝35，θ∈3π2，2π，求f2θ＋π3.解(1)f－π6＝2cos－π6－π12＝2cos－π4＝2cosπ4＝1.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题二第2讲热点分类突破(2)f2θ＋π3＝2cos2θ＋π3－π12＝2cos2θ＋π4＝cos2θ－sin2θ，又cosθ＝35，θ∈3π2，2π，∴sinθ＝－45，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－2425，cos2θ＝2cos2θ－1＝－725，∴f2θ＋π3＝cos2θ－sin2θ＝－725＋2425＝1725.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题二第2讲热点分类突破当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”、“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果．化简常用技巧：①常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；②项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；③降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；④弦、切互化：一般是切化弦．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题二第2讲热点分类突破(1)(2013·四川)设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是________．(2)(2012·江苏)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．解析(1)∵sin2α＝－sinα，∴sinα(2cosα＋1)＝0，又α∈π2，π，∴sinα≠0,2cosα＋1＝0即cosα＝－12，sinα＝32，tanα＝－3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－231－－32＝3.(2)∵α为锐角且cosα＋π6＝45，本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题二第2讲热点分类突破∴sinα＋π6＝35.∴sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π4＝sin2α＋π6cosπ4－cos2α＋π6sinπ4＝2sinα＋π6cosα＋π6－222cos2α＋π6－1＝2×35×45－222×452－1＝12225－7250＝17250.答案(1)3(2)17250本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题二第2讲热点分类突破考点二正、余弦定理例2(2013·课标全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．解(1)由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．②由①②和C∈(0，π)得sinB＝cosB.又B∈(0，π)，所以B＝π4.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题二第2讲热点分类突破(2)△ABC的面积S＝12acsinB＝24ac.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accosπ4.又a2＋c2≥2ac，故ac≤42－2，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2＋1.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题二第2讲热点分类突破三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破．几种常见变形：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，其中R为△ABC外接圆的半径；(3)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题二第2讲热点分类突破设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且(2b－3c)cosA＝3acosC.(1)求角A的大小；(2)若角B＝π6，BC边上的中线AM的长为7，求△ABC的面积．解(1)∵(2b－3c)cosA＝3acosC，∴(2sinB－3sinC)cosA＝3sinAcosC.即2sinBcosA＝3sinAcosC＋3sinCcosA.∴2sinBcosA＝3sinB.∵sinB≠0，∴cosA＝32，∵0Aπ，∴A＝π6.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题二第2讲热点分类突破(2)由(1)知A＝B＝π6，所以AC＝BC，C＝2π3，设AC＝x，则MC＝12x.又AM＝7，在△AMC中，由余弦定理得AC2＋MC2－2AC·MCcosC＝AM2，即x2＋x22－2x·x2·cos120°＝(7)2，解得x＝2，故S△ABC＝12x2sin2π3＝3.本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题二第2讲热点分类突破考点三正、余弦定理的实际应用例3(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量cosA＝1213，cosC＝35.(1)求索道AB的长；本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题二第2讲热点分类突破(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)在△ABC中，因为cosA＝1213，cosC＝35，所以sinA＝513，sinC＝45.从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理ABsinC＝ACsinB，得本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题二第2讲热点分类突破AB＝ACsinB×sinC＝12606365×45＝1040(m)．所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t2－70t＋50)，由于0≤t≤1040130，即0≤t≤8，故当t＝3537min时，甲、乙两游客距离最短．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题二第2讲热点分类突破(3)由正弦定理BCsinA＝ACsinB，得BC＝ACsinB×sinA＝12606365×513＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤500v－71050≤3，解得125043≤v≤62514，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在125043，62514(单位：m/min)范围内．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题二第2讲热点分类突破应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题二第2讲热点分类突破在南沙某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？解由题意，得轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟．又船始终匀速前进，所以BC＝4EB.设EB＝x，则BC＝4x.由已知，得∠BAE＝30°，∠EAC＝150°.在△AEC中，由正弦定理，得ECsin∠EAC＝AEsinC，本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题二第2讲热点分类突破所以sinC＝AE·sin∠EACEC＝5sin150°5x＝12x.在△ABC中，由正弦定理，得BCsin120°＝ABsinC，∴AB＝BC·sinCsin120°＝4x·12x32＝433.在△ABE中，由余弦定理，得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE·cos30°＝163＋25－2×433×5×32＝313，本讲栏目开关主干知识梳理热点分类突破押题精练专题二第2