§4.2-换元积分法(第一类换元法)

1§4.2换元积分法Ⅰ授课题目§4.2换元积分法（第一类换元法）Ⅱ教学目的与要求：1.理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dxxxd)()(.2.掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分.Ⅲ教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分.Ⅳ讲授内容：一、第一类换元积分法设)(uf具有原函数)(uF，()()fuduFuC.若u是中间变量，()ux，()x可微，则根据复合函数求导法则，有(())()[()]()dFxdFdudufufxxdxdudxdx。所以根据不定积分的定义可得：()[()]()[()][][()]uxfxxdxFxCFuCfudu以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有()[()]()][()]()uxfxxdxfuduFuCFxC.以上就是第一换元积分法。从以上可以看出，虽然[()]()fxxdx是一个整体记号，但是被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待从而上式中的()xdx可以看成是()x的微分，通过换元()ux，应用到被积表达式中就得到()xdxdu.定理1设)(uf具有原函数)(uF，)(xu可导，dxxdu)(，则[()()()()[()]fxxdxfuduFuCFxC(1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分()gxdx时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()fxx的形式那么2()()[()]()[()]xugxdxfxxdxfudu()()[()]uxFuCFxC.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积[()]()fxx来.例1求33xedx解33333=3xxxedxedxexdx()，可设中间变量xu3，dxxddu3)3(3dxdu，所以有3333xxuuxedxedxedueCeC.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。例2xdx2cos解11cos2cos22=cos2(2)22xdxxdxxxdx令xu2，显然dxdu2，则1cos2cos222xdxxdx111cossinsin2222uduuCxC.在比较熟练后，我们可以将设中间变量()ux的过程省略，从而使运算更加简洁。例3dxx5)23(解如将5)23(x展开是很费力的，不如把23x作为中间变量，dxxd3)23(，5556111(32)=(32)3=(32)(32)(32)3318xdxxdxxdxxC.例4132dxx111111=2=(32)ln|32|322322322dxdxdxxCxxx.例522xxedx2222222()xxxxxedxexdxedxeC例6求21xxdx2211(2)12xxdxxxdx32222111(1)1(1)22xxdxxdx33222211211(1)2233xuduuCxCu.二、掌握几种典型的“凑微分”的方法1()dxdaxba；11()nnxdxdxbn；)(xxeddxe；1(ln)dxdxx；1()lnxxadxdaa；)(sincosxdxdx；)(cossinxdxdx；)(tansec2xdxdx；2csc(cot)xdxdx；)(sectansecxdxdxx；)(arcsin12xdxdx；)(arctan12xdxdx。三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定积分计算有关函数的不定积分时，需要先把被积函数变形转化，再利用第一换元积分法计算.例7求xdx2sin解2111sin(1cos2)cos2222xdxxdxdxxdx11(cos2)2sin22424xxxdxxC.（此题利用三角函数中的降幂扩角公式）例8求22xadx)0(a解222211()arcsin1()1()dxxxdxdCaaxxaxaaa.利用dxnxxdnn1)(，有如下例题例9求dxxx21sin解dxxxd21)1(4221sin1111(sin)()(sin)()xdxdxdxxxxxx111sin()cosdCxxx例10求dxeexxcos解Ceededxeexxxxxsin)(coscos＝.利用dxeedxx)(，adxaadxxln)(例11求xxeedx习题4-2:2(30)解Ceededxeeeedxxxxxxxxarctan1)(1)(22.例12求1xedx解111111xxxxxxeeeeeeCexeedxdxeedxedxxxxxxx)1ln(1)1(11.例13求dxxxx946解263()64239491()124xxxxxxxxxdxdxdx211313[()]arctan()32ln3ln223ln1()22xxxdC.此题利用adxaadxxln)(下面几个例题利用dxxxd1)(ln例14求xxdxln5解111(ln)lnlnlnlnlndxdxdxxCxxxxx.又如习题4-2:2（16）lnlnlndxxxx;解111=lnlnlnlnlnlndxdxxxxxxx11lnlnlnlndxxx1lnlnln|lnln|lnlndxxCx.例15求dxxx4)5ln2(1解44112(2ln5)(2ln5)2xdxxdxxx4511(2ln5)(2ln5)(2ln5)210xdxxC.第一次课可以讲到这里.67被积函数是分母是二次函数,分子是常数或一次函数的有理分式函数的不定积分的求法(例16～例22六个例题)例16求22xadx)0(a分子是常数，分母是二次二项式，没有一次项.解2222111()dxdxxaxaa2111()arctan1()xxdCxaaaaa.例1741292xxdx被积函数分母是一个完全平方式解2211=391243(32)dxdxxxx2111(32)3(32)3(32)dxCxx.被积函数分母是一个完全平方式，被积函数化为22111=()()()dxdaxbaxbaaxb例1817442xxdx分子是常数，分母是二次三项式，不是完全平方式解2221121441716(21)161()4dxdxdxxxxx2112111()tan()21848241()4xxdarcCx被积函数分母是二次三项式且不可以分解因式，不是完全平方式时可以把分母配方化为2()axbc的形式，然后利用21arctan1dxxCx练习：求2125dxxx（第一换元积分法分）解2225(1)4xxx，222111=1(25)(144(12dxdxdxxxxx））211111==arctan122221(2xxdCx）例19求122xxdx分子是常数，分母是二次三项式且可以分解因式8解211111()12(3)(4)743xxxxxx2111()12743dxdxxxxx11117473dxdxxx1111(4)(3)7473dxdxxx1114ln|4|ln|3|ln||7773xxxCCx.被积函数分母是二次三项式且可以分解因式，被积函数可以用裂项法转化为两个简单分式的差.11[]()()()()ccxaxbabxaxb例20求dxxx21分子是一次多项式，分母是二次多项式解xdxxd2)1(22212121xxdxdxxx222111(1)ln(1)212dxxCx.例21求dxxxx1022解2(210)(22)dxxxdx，则1022222110222xxxxxx2212222102210xxdxdxxxxx221221222102210xdxdxxxxx222221(210)11ln(210)22102102(1)9dxxdxxxdxxxxxx22111ln(210)129()13xxdxx2111ln(210)arctan233xxxC.被积函数分子是一次多项式，分母是二次多项式时，首先把分子凑成分母的导数.下面几个例题利用三角函数的微分公式：xdxxdcos)(sin；xdxxdsin)(cos；xdxxd2sec)(tan；2()cscdcotxxdx例22求xdxtan（化切为弦）解sinsintan=coscosxxxdxdxdxxx＝1=(cos)lncoscosdxxCx9例23求xdx3tan解322sintantan(sec1)tanseccosxxdxxxdxxxdxdxx211tan(tan)(cos)tanlncoscos2xdxdxxxCx例24求cscxdx222tan21cos112csc=sin22sincossin2222cos2xsecxxxxdxdxdxdxdxxxxx＝1tanln|tan|22tan2xxdCx.因为22sin2sin2sin222cos2sincos2221costancsccotsin2sinxxxxxxxxxxxx.所以cscln|tan|ln|csccot|2xxdxCxxC.此题用三角万能公式代换也可以22112tancsc2sin21xttxdxdxdtxtt＝1ln||ln|tan|2xdttCCt.例25求scexdx解22211scsc()()cossin()exdxdxdxexdxxx22ln|csc()cot()|ln|sctan|xxCexxC.scln|sctan|exdxexxC例26求cos3cos2xxdx（利用三角函数积化和差公式）和差化积公式积化和差102sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsin；)]cos()[cos(21sinsin)]cos()[cos(21coscos)]sin()[sin(21sincos)]sin()[sin(21cossin解根据三角函数的积化和差公式：1cos3cos2(cos5cos)2xxxx1cos3cos2cos5cos2xxdxxxdx1111cos55cossin5sin102102xdxxdxxxC.由以上例题可以看出，第一换元积分法是一种非常灵活的计算方法，始终贯穿着