§4.2-换元积分法(第二类换元法)

§4.2换元积分法1§4.2换元积分法（第二类）Ⅰ授课题目（章节）：§4.2换元积分法（第二类换元积分法）Ⅱ教学目的与要求：1.了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法Ⅲ教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换Ⅳ讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分()gxdx时如果函数g(x)可以化为[()]()fxx的形式那么()()[()]()[()]()()uxgxdxfxxdxfxdxfudu()FuC[()]FxC所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()fxx函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如dxxa22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(tx将无理函数()fx的积分()fxdx化为有理式[()]()ftt的积分[()]()fttdt。即()[()]()fxdxfttdt若上面的等式右端的被积函数[()]()ftt有原函数()t，则[()]()()fttdttC,然后再把()t中的t还原成1()x，所以需要一开始的变量代换)(tx有反函数。定理2设)(tx是单调、可导的函数，且0)(t，又设)()]([ttf有原函数()t，则CxCtdtttfdxxf)]([)()()]([)(1分析要证明1()[()]fxdxxC，只要证明1[()]x的导数为()fx，1[()]dddtxdxdtdx，?dtdx§4.2换元积分法2证明)(tx单调、可导，()xt存在反函数)(1xt，且)(11tdtdxdxdt11[()][()]()()()dddtxfttfxdxdtdxt)]([1x是)(xf是一个原函数Cxdxxf)]([)(1.第二换元法，常用于如下基本类型类型1：被积函数中含有22xa（0a）,可令taxsin（并约定(,)22t）则taxacos22，tdxadxcos，可将原积分化作三角有理函数的积分.例1求dxxa22)0(a解令taxsin，(,)22t，则taxacos22tdtadxcos22coscosaxdxatatdt22211(cos2)sin22224aaatdtttC22222sincosarcsin2222aaaxxtttCaxCa.借助下面的辅助三角形把sint，cost用x表示.例2求dxxx224解令txsin2，(,)22t，则txcos242，tdtdxcos22224sin1cos22cos=42cos24xttdxtdtdttx=(22cos2)2sin2tdtttC§4.2换元积分法3222sincos2arcsin422xxtttCxC类型2：被积函数中含有)0(22axa可令taxtan并约定(,)22t，则taxasec22；tdtadx2sec；可将原积分化为三角有理函数的积分.例3求22axdx)0(a解令taxtan，)2,2(t，则22secxaat，2secdxatdt22secdxtdtxalnsectanttC22221lnlnxaxCxxaCaa.例4求224xxdx解令txtan2，)2,2(t，则242secxt，tdtdx2sec222222sec4tan2sec4dxtdtttxx1cos22sin2cos1sec14tan4ttttdtdtt2221cos111114sin4sin4sin4sin4txdtdtCCtttx例5求22)9(xdx（分母是二次质因式的平方）解令txtan3，则tx22sec99，tdtdx2sec3222243sec1cos(9)81sec27dxtdttdtxt§4.2换元积分法4111(1cos2)cos2cos2254545454254tttdttdttdt11sin2sincos542545454tttttC2113arctan543549xxCx练习：求221(25)dxxx（第二换元积分法分）解22222])1(2[)52(xxx，令txtan21)2,2(t则222442sec11(1cos2)sincos(25)2sec161616dxttdttdtttCxxt21111arctan162825xxCxx类型3被积分函数中含有22ax)0(a，当ax时，可令taxsec，并约定(0,)2t，则taaxtan22，sectandxattdt，当ax时，可令xu，则au，可将原积分化为三角有理函数的积分。例6求22axdx)0(a解被积函数的定义域为),(),(aa，当(,)xa时，令taxsec，)2,0(t，则taaxtan22，tdttadxtansec有22sectansectandxattdttdtatxa22ln(sectan)ln()xxattCCaa221ln()xxaC.§4.2换元积分法5当(,)xa时，令xu，则),(au有2222112222ln()ln()dxduuuaCxxaCxaua22112222221lnln()()xxaCCxxaxxaxxa22222112lnln()(ln)xxaCxxaCaa222ln()xxaC),(),(aax时，Caxxaxdx2222ln例7求122xxdx解),1(x时，令txsec,)2,0(t则txtan12,tdttdxtansec，有CxxCttdtdtttttxxdx1sincostansectansec12222，)1,(x时，令xu，则),1(u有CxxCuuuuduxxdx1111222222无论1x或1x均有Cxxxxdx11222注意：(1)以上三种三角代换，目的是将无理式的不定积分化为三角有理函数的不定积分(2)在利用第二类换元积分法时将积分的结果还原为x的函数时，常常用到同角三角函数的关系，一种较简单和直接的方法是作“辅助三角形”(3)在既可用第一换元法也可用第二换元法的时候，用第一换元法就使计算更为简洁.§4.2换元积分法6例8求22axxdx)0(a解法一（用第一换元法）ax时Cxaaxaxadaxaxdxaxxdxarccos1)(1)(11222222，ax时，令xu则auCxaaCuaaauuduaxxdxarccos1arccos1)(2222＝两式合并Cxaaaxxdxarccos122解法二（第二换元法）（1）当ax时，secxat,)2,0(t则22tanxaat,sectandxattdt22sectansectandxattdtatatxxa111arccostadtCCaaax.（2）当ax时，令xu222222dxduduxxauuauua11arccosarccosaaCCauax由(1)(2)两种情况可得Cxaaaxxdxarccos122Ⅴ归纳总结1、第二类换元积分法的思想若()fxdx中的被积函数()fx为无理函数，可以选择适当的变量代换)(tx，将无理函数()fx的积分()fxdx化为有理式的积分[()]()fttdt.1()()[()]()()[()]xtfxdxfttdttCxC2、第二类换元积分法适用的被积函数类型§4.2换元积分法7类型1：被积函数中含有22xa（0a）,可令taxsin（并约定(,)22t）则taxacos22；tdxadxcos可将原积分化作三角有理函数的积分.类型2：被积函数中含有)0(22axa可令taxtan并约定(,)22t，则taxasec22；tdtadx2sec；可将原积分化为三角有理函数的积分.类型3被积分函数中含有22ax)0(a，当ax时，可令taxsec，并约定(0,)2t，则taaxtan22，sectandxattdt，当ax时，可令xu，则au，可将原积分化为三角有理函数的积分。Ⅵ课堂练习：P208习题4-22（37）Ⅶ课外作业：P208习题4-22（36）（37）（38）（40）（42）