离散型随机变量的数学期望

离散型随机变量的数学期望复习引入前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义，这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型，吻合模型用公式去求概率简便.⑴()()()PABPAPB（当AB与互斥时）；⑵()(|)()PABPBAPA⑶()()()PABPAPB（当AB与相互独立时）那么求概率还有什么模型呢？1.独立重复试验定义：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验1、每次试验是在同样条件下进行；2、每次试验都只有两种结果:发生与不发生；3、各次试验中的事件是相互独立的；4、每次试验,某事件发生的概率是相同的。注：独立重复试验的基本特征：1.基本概念基本概念2、二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为()(1),0,1,2,...,.kknknPXkCppkn此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p),并称p为成功概率。51.概率分布列•一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1,x2,…,xn且P(X=xi)=pi,（i=1,2,…,n）•则称为随机变量X的分布列，简称为X的分布列.Xx1x2…xnPP1,p2…pn此表叫X概率分布列，表格表示1、某人射击10次,所得环数分别是:1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？2104332221111X把环数看成随机变量的概率分布列：X1234P10410310210121014102310321041)(XE互动探索一、离散型随机变量取值的均值一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：nniipxpxpxpxXE2211)(则称为随机变量X的均值或数学期望。P1xix2x······1p2pip······nxnpX它反映了离散型随机变量取值的平均水平。他们的射击技术分别为乙两个射手甲,,试问哪个射手技术较好?例1谁的技术比较好?乙射手击中环数概率10982.05.03.0甲射手击中环数概率10983.01.06.0解),(3.96.0101.093.08)(1环XE),(1.93.0105.092.08)(2环XE.,,21XX为乙射手击中的环数分别设甲故甲射手的技术比较好.•3．(2011·福建福州质检)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且Eξ＝6.3，则a的值为()•A.5B．6•C．7D．8•解析：由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4•∴Eξ＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3•∴a＝7.故选C.•答案：Cξ4a9P0.50.1b•类型一求离散型随机变量的期望•解题准备：求离散型随机变量的期望，一般分两个步骤：•①列出离散型随机变量的分布列；②利用公式Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…，求出期望值．•【典例1】(2011·福州市高中毕业班综合测试卷)口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，两张标有数字3，第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ.•(1)ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由．•(2)求随机变量ξ的期望Eξ.[解析](1)依题意，随机变量ξ的取值是2、3、4、5、6.因为P(ξ＝2)＝3282＝964；P(ξ＝3)＝2×3282＝1864；P(ξ＝4)＝32＋2×3×282＝2164；P(ξ＝5)＝2×3×282＝1264；P(ξ＝6)＝2×282＝464.所以，当ξ＝4时，其发生的概率最大，为P(ξ＝4)＝2164.•[点评]本题主要考查某事件发生概率的求法，以及离散型随机变量分布列的数学期望的求法．问题(1)，对ξ的取值做到不重不漏，这是学生容易出错的地方．利用好计数原理和排列、组合数公式，求事件发生的概率，问题(2)比较容易，用好离散型随机变量分布列的数学期望公式即可．(2)Eξ＝2×964＋3×1864＋4×2164＋5×1264＋6×464＝154.（广东卷17）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为X．（1）求X的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即X的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？高考链接：•【解析】（1）X的所有可能取值有6，2，1，-2；，，,故的分布列为：63.0200126)6(XP25.020050)2(XP1.020020)1(XP02.02004)2(XP0.020.10.250.63P-2126X34.402.0)2(1.0125.0263.06EX（2）)29.00(76.401.0)2(1)01.07.01(27.06)(xxxxxE73.4)(xE73.476.4x03.0x（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为依题意，，即，解得所以三等品率最多为3%设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．（1）Y的分布列是什么？（2）E(Y)=？思考：P1xix2x······1p2pip······nxnpXnniipxpxpxpxXE2211)(P1x2x···1p2p···nxnpXP1x2x···1p2p···nxnpXbax1bax2···baxnnnpbaxpbaxpbaxYE)()()()(2211)()(212211nnnpppbpxpxpxabXaE)(Y＝aX＋b一、离散型随机变量取值的均值nniipxpxpxpxEX2211P1xix2x······1p2pip······nxnpX二、随机变量数学期望的性质（线性性质）baEXbaXE)(即时训练：1、随机变量X的分布列是X135P0.50.30.2(1)则E(X)=.2、随机变量ξ的分布列是2.4(2)若Y=2X+1，则E(Y)=.5.8ξ47910P0.3ab0.2E（ξ）=7.5,则a=b=.0.40.1例1：已知随机变量X的分布列如下：X－2－1012P141315m120(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y＝2X－3，求E(Y).11762;,63015例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？一般地，如果随机变量X服从两点分布，X10Pp1－p则pppXE)1(01)(三、例题讲解两点分布的期望三、例题讲解变式1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他连续罚球3次的得分X的均值是多少？X0123P33.0分析：X～B（3，0.7）2133.07.0C3.07.0223C37.0322321337.033.07.023.07.013.00CCEX1.27.03为什么呢？Ex=例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？三、例题讲解变式2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为p，则他连续罚球n次的得分x的均值是多少？x01…k…np……111nnCpqkknknCpq0nnnCpqx的概率分布如下：x~B(n,p)00nnCpq为什么呢？能证明它吗？E(X)=np证明：n),0,1,2,(kqpCk)P(ξknkkn0nnnknkkn1n11nn00nqpnCqpkCqpC1qpC0Eξ)qpCqpCqpCqpnp(C01n1n1n1)(k1)(n1k1k1n2n111n1n001n所以若ξ～B(n，p)，则E（ξ）＝np．证明：若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np1().nnppqnp2；一般地，如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则E(X)=np结论：1；一般地，如果随机变量X服从两点分布（1，p)，则E(X)＝p3，一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望是.3即时训练：4，随机变量X~B（8，p），已知X的均值E(X)=2，则P（x=3)=.例4：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项.其中仅有一个选项正确，每题选对得5分.不选或选错不得分，满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个.分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.思路分析：设甲、乙选对题数分别为X1、X2，则甲、乙两人的成绩分别为Y1=5X1、Y2=5X2，问题转化为求:E(Y1)=E(5X1)=E(Y2)=E(5X2)=思考：X1、X2服从什么分布？5E(X1)5E(X2)解：设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2，则X1～B(20，0.9)，X2～B(20，0.25)，EX1＝20×0.9＝18，EX2＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2。所以，他们在测验中的成绩的期望分别是E(5X1)＝5EX1＝5×18＝90，E(5X2)＝5EX2＝5×5＝25．(2010·衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．(1)若这箱产品被用户接收的概率是，求n的值；(2)在(1)的条件下，记抽检的产品次品件数为X，求X的分布列和数学期望．作业：【解】(1)设“这箱产品被用户接收”为事件A，∴n＝2.(2)X的可能取值为1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=∴X的概率分布列为：X123P1828109()123.5454545EX1．(2010·河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试．公司规定面试合格者可签约．甲、乙面试合格就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：(1)至少有三人面试合格的概率；(2)恰有两人签约的概率；(3)签约人数的数学期望．解：(1)设“至少有3人面试合格”为事件A，则P(A)＝(2)设“恰有2人签约”为事件B，“甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约”为事件B1；“甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约”为事件B2；则：B＝B1＋B2P(B)＝P(B1)＋P(B2)(3)设X为签约人数．X的分布列如下：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=X01234P52024161620()01234.81848181819EX