2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第三单元第五节 函数与方程

第五节函数与方程基础梳理1.函数零点的定义:一般地，把使函数y=f(x)的值为的实数x称为函数y=f(x)的零点.即:函数y=f(x)的零点就是,亦即..2.方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象有交点函数y=f(x)有.0方程f(x)=0的实数根函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标与x轴零点1.函数零点的定义:一般地，把使函数y=f(x)的值为的实数x称为函数y=f(x)的零点.即:函数y=f(x)的零点就是,亦即..2.方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象有交点函数y=f(x)有.3.函数零点的求法:①代数法:求方程f(x)=0的实数根;②几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.4.函数零点的判断一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,并且有,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,即存在c∈(a,b),使得,这个c也就是f(x)=0的根.f(a)·f(b)0f(c)=05.二次函数的零点下表是二次函数的图象与零点的关系,a0时依此类推.2yaxbxca0Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴的交点···零点个数···无交点两个零点一个零点无零点12,,(,)x0x01,x0典例分析题型一求函数的零点【例1】求下列函数的零点.(1)f(x)=4x-3;(3）.22fxx2x3;2x3-xf(x)分析根据函数零点与方程根之间的关系,求函数的零点,就是求相应方程的实数根.解(1)由4x-3=0,得,即f(x)=4x-3的零点是43x43(2)由得解得即的零点为-1,3.2x2x30,2x2x30,12x1,x3,2fxx2x3(4)由，得即函数的两个零点分别为1,-3.12x1,x3,0x3)1)(x-(xx3-2xx2x3-x22x3-xf(x)学后反思求函数的零点就是求相应方程的根,一般可用因式分解或求根公式等方法,求出方程的根,即得到函数的零点.举一反三1.求下列函数的零点.31fxx1;1-x12xx(2)f(x)2解析(1)由，得x=1,所以的零点是1.3x1=03fxx1(2)由,得,所以的零点是-1,这是一个二重零点.01)1(1-x12xx22xx1,2x11-x12xxf(x)2题型二用二分法求方程的近似解【例2】求函数的一个为正数的零点(精确到0.1).32fxx2x3x6分析由于要求的是函数的一个正数零点,因此可以考虑确定一个包含正数的闭区间［m,n］,且f(m)·f(n)0,如计算出f(0)=-60,f(1)=-60,f(2)=40,所以可取区间［1,2］作为计算的初始区间(当然选取(0,2)也是可以的).解∵f(1)=-60,f(2)=40,∴存在x∈(1,2),使f(x)=0.用二分法逐次计算,列表如下:端点或中点坐标计算端点或中点的函数值取区间a=1,b=2f(1)=-6,f(2)=4(1,2)f(1.5)=-2.6250(1.5,2)f(1.75)=0.23440(1.5,1.75)f(1.625)≈-1.30270(1.625,1.75)f(1.6875)≈-0.56180(1.6875,1.75)f(1.71875)≈-0.17070(1.71875,1.75)f(1.734375)≈0.030090(1.71875,1.734375)1.5221x11.75221.5x21.62521.751.5x351.68721.751.625x4751.71821.7551.687x53751.73421.75751.718x6∵1.71875与1.734375精确到0.1的近似值都为1.7,∴所求的正数零点是1.7.学后反思用二分法求函数零点的近似值,首先要选好计算的初始区间,这个区间既要包含所求的根,又要使其长度尽量小;其次，要依据给定的精确度,及时检验所得区间的端点的近似值(精确到给定的精确度)是否相等,以决定是停止计算还是继续计算.举一反三2.判断函数在区间[1,1.5]内有无零点,如果有,求出一个近似零点(精确到0.1).3yxx1解析因为f(1)=-10,f(1.5)=0.8750,且函数的图象是连续的曲线,所以它在区间[1,1.5]内有零点.取区间[1,1.5]的中点x0=1.25,由f(1.25)≈-0.30,得f(1.25)·f(1.5)0,所以零点在区间[1.25,1.5]内;取区间[1.25,1.5]的中点x1=1.375,由f(1.375)≈0.220,得f(1.25)·f(1.375)0,所以零点在区间[1.25,1.375]内;同理,可得函数零点在区间[1.3125,1.375]内;函数零点在区间[1.3125,1.34375]内.由于1.3125与1.34375精确到0.1近似值为1.3,所以函数在区间[1,1.5]内的一个近似零点为1.33yxx13yxx1题型三根的存在性判断方法的应用【例3】若方程在(0,1)内恰有一解,求a的取值范围.2axx10分析方程在(0,1)内恰有一解,即函数在(0,1)内恰有一个零点.2f(x)=axx1解由题意,设,则f(x)在(0,1)内恰有一个零点,所以f(0)·f(1)0,即-1·(a-2)0,解得a2.2fxaxx1学后反思(1)对于函数y=f(x),只要有f(a)·f(b)0,则y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)本题属于简单的方程根的分布问题.举一反三3.若关于x的方程的两根一个大于1,另一个小于1,则a的取值范围是_______.23x5xa0解析设,则f(1)0,即-2+a0,∴a2.2fx3x5xa答案(-∞,2)题型四函数零点的综合应用【例4】(14分)对于函数f(x),若存在成立,则称为f(x)的不动点.已知函数(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.2fxaxb1xb1a0.000xR,fxx使0x分析函数的不动点,即方程f(x)=x的根,函数有两个相异的不动点,即方程f(x)=x有两个不相等的实根.解(为f(x)的不动点,因此有……………………….2′解得所以3和-1为f(x)的不动点……5′201)fxxx3,x因为20000fxxx3x00x1x3,或(2)因为f(x)恒有两个不动点,即方程有两不等实根………………8′由题设知,对任意b∈R恒成立,………10′所以即…………………12′所以0a1………………………………………………….142fxaxb1xb1x2axbxb102b4ab1024a4(4a)02aa0学后反思二次函数的不动点问题是近几年来二次函数命题的一个热点,所谓二次函数的不动点本质是二次函数的图象与直线y=x的交点的横坐标.举一反三4.已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;(2)试确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.0).(xxexg(x)2解析：(1)方法一:由等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是[2e,+∞).因而只需m≥2e,则g(x)=m就有零点.22eg(x)x2e2ex方法三:解方程g(x)=m,得x2-mx+e2=0(x0).此方程有大于零的根,故等价于xexg(x)204e-m0,2m222e.m,-2em2em0,m故或(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点作出(x0)的图象如图.f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.xexg(x)2方法二:作出(x＞0)的图象如图所示.若使g(x)=m有零点,则只需m≥2e.其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2,故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.则m的取值范围是m-e2+2e+1.易错警示【例】是否存在这样的实数k，使得关于x的方程有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，是确定的取值范围；如果没有，试说明理由2(23)(31)0xkxk错解令由条件得此不等式无解，即不存在满足条件的k值2()(23)(31)fxxkxk2(23)4(31)0kk(0)130fk(2)42(23)(31)0fkk错解分析方程两根都在0与2之间，根据图像，可知除满足上述条件外，还要考虑二次函数的对称轴在区间[0，2]内。正解令由条件得2()(23)(31)fxxkxk2(23)4(31)0kk(0)130fk(2)42(23)(31)0fkk23022k1k即此不等式无解，即不存在满足条件的k值2450k13k1322k考点演练10.若f(x)=(x-a)(x-b)-1,m,n是方程的两根，且ab,mn，求实数a,b,m,n的大小关系解析设g(x)=(x-a)(x-b)，则a,b是函数g(x)的两个零点（如图).f(x)=(x-a)(x-b)-1的图象是图象g(x)=(x-a)(x-b)向下平移1个单位得到的，所以f(x)图像与x轴的两个交点在a,b之外，即mabn答案：mabn11.已知函数（1）求f(x)的零点；（2）求分别满足f(x)0,f(x)=0,f(x)0的x的取值范围3()32fxxx解析(1）令f(x)=0,得函数f(x)的零点为1或-2.(2)令f(x)=0,得x23()32(1)(1)2(1)fxxxxxxxx22(1)(2)(1)(2)xxxxx令发f(x)=0，得x=1或x=-2所以满足f(x)0的x的取值范围是x=1或x=-2满足f(x)=0的x的取值范围是x=1或x=-2满足f(x)的x的取值范围是(-2,1)∪(1,+∞).12xx2()fxaxbxc12.已知二次函数(1)若abc,且f（1）=0，试证明f(x)必有两个零点。（2）若对R且，方程有两个不等实根，证明必有一实根属于12,xx12()()fxfx121()[()()]2fxfxfx12(,)xx解析（1）∵f(1)=0,∴a+b+c=0.又∵abc,∴a0,c0,即ac0又∴方程有两个不等根，所以函数f(x)有两个零点2440bacac20axbxc12(,)xx121()[(,)]2fxfxx(2)令g(x)=121212()()1()[(,)],22fxfxfxfxx则g(x)=212212()()1()[(,)]22fxfxfxfxxg(x)=122112()()()()22fxfxfxfxg(x)g(x)=2121[()()]4fxfx1212()(),()()0fxfxgxgx∴g(x)=0在内必有一实根即在内必有一实根.121()[()()]2fxfxfx12(x,x)