2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第六单元第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用举例

第三节平面向量的数量积及平面向量的应用举例基础梳理1.两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.(2)范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°,a与b同向时,夹角θ=;a与b反向时,夹角θ=.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角θ=90°,则a与b垂直,记作.a⊥b0001802.平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量叫做向量a和b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=,并规定：零向量与任一向量的数量积为.(2)一向量在另一向量方向上的投影①定义:设θ是非零向量a和b的夹角,则叫做a在b的方向上的投影,|b|cosθ叫做投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量,当0°≤θ90°时,它是,当90°θ≤180°时,它是,当θ=90°时,它是.②a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与的投影|b|cosθ的乘积.|a||b|·cosθ|a||b|·cosθ0|a|cosθb在a方向上正数负数0b在a方向上3.向量的数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a·e=|a|cosθ.(2)a⊥ba·b=0.(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|.当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地:a·a=a2=|a|2或|a|=.(4)|a·b|≤|a||b|.(5)(α是a与b的夹角).|b||a|bacosaa4.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律);(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).5.平面向量数量积的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)a·b=x1x2+y1y2.(2).(3).22222121yx|b|,yx|a|0yyxxba2121(4)若a与b夹角为θ,则.(5)若c的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则yxyxyyxxcos222221212121)y-(y)x-(x|c|2212216.平面向量在平面几何中的应用用向量方法解决几何问题一般分四步:(1)选好基向量；(2)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；(3)通过向量运算研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(4)把运算结果“翻译”成几何关系.典例分析题型一数量积的运算【例1】(2009·广东联考)已知向量,且.求a·b及|a+b|.分析利用数量积的坐标运算及性质,注意x的取值范围.)2x,-sin2xcos(b),23xsin,23xcos(a]2[0,x2x,.cos2xsin23xsin-2xcos23xcos)2x,-sin2x)(cos23xsin,23xcos(ba解x2cosx4cos1)-x2(2cos2|ba|],2[0,x.2x2cos2)2xsin-23xsin()2xcos23xcos(b)(a|ba|22222学后反思与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题,除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外,还应掌握三角恒等变换的相关知识，分析求模类型.举一反三1.（2010·广州综测）已知点A(1,0),B(0,1),C（2sinθ,cosθ）.（1）若|AC|=|BC|,求tanθ的值；（2）若（OA+2OB）·OC=1,其中O为坐标原点，求sin2θ的值.解析：（1）∵A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ)，∴AC=(2sinθ-1,cosθ),BC=(2sinθ,cosθ-1).∵|AC|=|BC|,∴化简得2sinθ=cosθ.又∵cosθ≠0(若cosθ=0,则sinθ=±1,上式不成立),∴tanθ=22221)-(cos)(2sincos1)-(2sin21(2)∵OA=(1,0),OB=(0,1),OC=(2sinθ,cosθ),∴OA+2OB=(1,2).∵(OA+2OB)·OC=1,∴2sinθ+2cosθ=1，∴sinθ+cosθ=，∴(sinθ+cosθ)2=,∴sin2θ=214143题型二模长与垂直问题【例2】已知︳a︳=4，︳b︳=8，a与b的夹角是(1)计算︳a+b︳,︳4a-2b︳；（2）当k为何值时，(2)()?abkab分析：（1）利用模长公式求解。（2）利用向量垂直的充要条件，通过坐标表示列方程求k22()aaabab和解：由已知得，148()162ab222(1)2162(16)6448abaabb43ab2224216164161616(16)abaabb2464316,42163ab(2)(2)()(2)()0abkababkab若，则22(21)20,1616(21)2640,7kakabbkkk即学后反思（1）利用数量积求解模长问题是数量积的重要应用，根据实际合理选择以下公式：①22aaaa②③222abaabb22(,),axyaxy若则(2)非零向量是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握；若0abab11221212,,,,0axybxyabxxyy则举一反三2（2009湖北）已知向量c=(-1,0)(1)求向量的长度的最大值；（2）设，且，求的值。(cos,sin),cos,sin,ab4a()abccos解析：（1）方法一：则方法二：∵︱b︱=1,︱c︱=1,︱b+c︱≤︱b︱+︱c︱=2当时，有︱b+c︱=(-2,0),即︱b+c︱=2∴b+c的长度的最大值为2.cos122(cos1)sin2(1cos)bc21cos1,04,2cos12bcbcbc即0当时，有(cos1sin),bc，（2）方法一：由已知可得(cos1sin),bc，()coscoscossinsincos()cosabc,cos()cos4442()44kkZ由得即22(),cos0cos12cos10,cos=1cos0kkkZbc或于是或当时，故舍去，即cos(cos1)0,方法二：若22,(,),422则(cos,sin),(1,0)22()(,)(cos1,sin)22222cossin.222(),()0,cossin1sin1cos,bcabcabcabc又由得即平方后化简得cos0cos1cos0解得或，经检验，为所求。题型三夹角问题【例3】(14分)已知a、b都是非零向量,且|a|=|b|=|a-b|.求a与a+b的夹角.分析由公式可知,求两个向量的夹角关键是求数量积及模的积.本题中|a|=|b|=|a-b|的充分利用是求数量积的关键,考虑怎样对条件进行转化.|b||a|bacos解方法一:由|a|=|b|=|a-b|得,所以而所以|a+b|=|a|.设a与a+b的夹角为θ,22222,2abbaabb212aba222222122232abaabbaaa323|a|3a21a|ba||a|b)(aacos222由于0°≤θ≤180°,所以θ=30°方法二:设由|a|=|b|=|a-b|得,所以即所以故.设a与a+b的夹角为θ,1122(,),(,),axybxy22222,2ababaabb212122222121222121y2y-x2x-yxyxyxyx).y(x21yyxx21212121)y3(xy2yx2xyxyx)y(y)x(x|ba|222121212222212122122122121yx3|ba|23|a|3a21a|ba||a|b)(aacos222则由于0°≤θ≤180°,所以θ=30°.学后反思(1)求两个向量的夹角,需求得a·b及|a|,|b|或得出它们的关系,注意夹角的取值范围是[0°,180°].(2)向量有两种表示形式,即坐标法和几何法,解题时要灵活选择.本题通过比较两种方法发现,利用向量的几何形式解答此类题目显得更加简捷和直观.举一反三3·已知，a和b的夹角为，求当向量的夹角是锐角时，的取值范围。2,3ab045abab与解析：的夹角为锐角，即的夹角为锐角，所以所以02cos453232abababab与()()0abab222()0ababab222223,29111185118531130,66ababab把解得或abab又与111，即118511851166（，）（，）（，）题型四综合应用问题【例4】已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t).若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.分析先求出f(x)的表达式,然后利用导数与函数单调性的关系及本函数的性质求解，注意x的取值范围.解因为f(x)=a·b=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,所以f′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上f′(x)≥0.所以5.t0t1-0t5-0(1)f0(-1)f0(x)f而当t≥5时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)0,即若f(x)在(-1,1)上是增函数,则t的取值范围为[5,+∞).学后反思新课标强调向量的工具性,要求加强向量与三角、函数、解析几何、立体几何等知识的联系,因此,把函数、向量、导数等知识进行综合必将是高考的趋势.本题实质上是应用导数解决函数的单调性问题,向量起到构造函数关系的作用,一旦求出函数解析式f(x)=-x3+x2+tx+t,就可以用导数等知识解决.解题时应分清层次,明确向量在综合问题中的作用,把复杂问题分解为多个简单问题来解决.举一反三4.已知向量OA=(3,-4），OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),(1)若点A,B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数的m值。12m实数(3,-4),(6,-3),=(5,3)OAOBOCmm解析：（1）已知向量若点A,B,C能构成三角形，则这三点共线，故知3(1-m)≠2-m,满足条件。（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则∴3（2-m)+(1-m)=0,解得(3,1),(2,1),ABACmmABAC74m易错警示【例1】下列命题正确的序号是。①若a∥b,b∥c,则a∥c②若是平面内一组非零向量，则由，得x=y=0;③④若，且c≠o,则a=b;⑤在△ABC中，若有，则△ABC为钝角三角形；⑥与c垂直12,ee120xeye()()abcabcacbc,ABaBCb0ab()()bcacab错解：①②③④⑤⑥错误分析：认为①正确，在于忽略了零向量和任意向量平行这一性质，只有非零向量的平行性才具有传递性；认为②正确，原因是审题错误，只有强调、不共线才有此结论；认为③正确，在于将向量数量积运算与实数运算律混淆了，向量数量积运算不满足